# Matematyka — zadanie 25 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/25 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo ## Treść Zadanie 25. (0-1) W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe A. 1 8 B. 1 5 C. 1 40 D. 1 35 MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe A. 1/8; B. 1/5; C. 1/40; D. 1/35. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(\dfrac{1}{8}\) ## Sposób 1 - Prawdopodobieństwo klasyczne (zliczanie) **Krok 1: Ustal przestrzeń zdarzeń elementarnych.** W pudełku jest łącznie \(40\) kul, a każda ma jednakowe prawdopodobieństwo wylosowania. Zatem: \[|\Omega| = 40\] **Krok 2: Policz kule czerwone.** Skoro kul białych jest \(35\), to kul czerwonych jest: \[40 - 35 = 5\] **Krok 3: Zastosuj wzór na prawdopodobieństwo klasyczne.** Zdarzenie \(A\) = „wylosowanie kuli czerwonej", \(|A| = 5\): \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}\] **Odpowiedź: \(\dfrac{1}{8}\)** ## Sposób 2 - Frakcja bezpośrednia (intuicyjnie) Zamiast liczyć kule czerwone osobno, od razu myślimy o proporcji: - Kule czerwone stanowią \(\dfrac{5}{40}\) wszystkich kul. - Upraszczamy ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez \(5\): \[\frac{5}{40} = \frac{5 \div 5}{40 \div 5} = \frac{1}{8}\] Weryfikacja: \(\dfrac{1}{8} \cdot 40 = 5\) - zgadza się z liczbą kul czerwonych. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne: \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\] Wzór stosujemy w Sposobie 1: \(|\Omega| = 40\) (wszystkie kule), \(|A| = 5\) (kule czerwone). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | B - \(\dfrac{1}{5}\) | Uczeń liczy \(\dfrac{5}{25}\) lub myli „5 kul czerwonych spośród białych" z \(\dfrac{1}{5}\); albo błędnie zakłada 25 kul w mianowniku zamiast 40 | | C - \(\dfrac{1}{40}\) | Uczeń bierze \(\dfrac{1}{40}\) - prawdopodobieństwo wylosowania **konkretnej jednej** kuli, zapominając, że czerwonych jest 5, nie 1 | | D - \(\dfrac{1}{35}\) | Uczeń wstawia w mianownik liczbę kul białych (\(35\)) zamiast łącznej liczby kul (\(40\)) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń zdarzeń \(\Omega\) to WSZYSTKIE kule w pudełku (\(40\)), nie tylko kule danego koloru. Mianownik zawsze = łączna liczba kul. > ⚠️ **Uwaga:** Najpierw oblicz liczbę kul czerwonych: \(40 - 35 = 5\). Treść podaje bezpośrednio tylko liczbę kul białych - to częsta pułapka, która sprawia, że uczniowie pomijają ten krok i wstawiają \(35\) lub \(1\) w licznik. > ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\(\dfrac{1}{40}\)) to prawdopodobieństwo wylosowania **jednej konkretnej** kuli (np. kuli nr 7). Zadanie pyta o dowolną kulę **czerwoną** - a jest ich 5, więc mnożymy przez 5. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Definicja klasyczna Kul czerwonych: \(40 - 35 = 5\). \[P(\text{czerwona}) = \dfrac{5}{40} = \dfrac{1}{8}.\] ### Sposób 2 - Zdarzenie przeciwne \(P(\text{biała}) = \tfrac{35}{40} = \tfrac{7}{8}\). \(P(\text{czerwona}) = 1 - \tfrac{7}{8} = \tfrac{1}{8}\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(\tfrac{1}{5}\)** - być może policzono \(\tfrac{8}{40}\) błędnie. - **C. \(\tfrac{1}{40}\)** - prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej jednej kuli. - **D. \(\tfrac{1}{35}\)** - obrócona proporcja. **Zasada:** \(P = \tfrac{\text{sprzyjające}}{\text{wszystkie}} = \tfrac{5}{40} = \tfrac{1}{8}\). **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania czerwonej kuli 1. **Obliczamy całkowitą liczbę kul:** Pudełko zawiera 40 kul. 2. **Obliczamy liczbę czerwonych kul:** Jest ich 40 - 35 = 5. 3. **Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli:** Prawdopodobieństwo to liczba sprzyjających zdarzeń podzielona przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. W tym przypadku, liczba sprzyjających zdarzeń to 5 (czerwone kule), a liczba wszystkich możliwych zdarzeń to 40 (wszystkie kule). Zatem: P(czerwona kula) = 5/40 = 1/8 📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 1 ### Sposób 2: Użycie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego 1. **Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli:** Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli to 35/40 = 7/8. 2. **Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli:** Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli to 1 - P(biała kula) = 1 - 7/8 = 1/8. 📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 1 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **B. 1/5:** To prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli, gdyby wszystkie kule były białe. W naszym przypadku mamy 35 białych i 5 czerwonych, więc 1/5 jest błędne. * **C. 1/40:** To prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej kuli z 40. Chcemy prawdopodobieństwa wylosowania *czerwonej* kuli, a nie konkretnej kuli z puli. * **D. 35/40:** To prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli, a nie czerwonej. Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli jest zatem 1/8. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/25) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F25) ## Podobne zadania - [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24) — W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czerwone. Kule różnią się jedynie kolorem. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 3 ∶5 . - [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie sam - [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (1 pkt) W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie s - [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wy _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_