# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż równanie \(\left(x^{3}-8\right)\left(x^{2}-4x-5\right)=0\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x \in \{-1,\ 2,\ 5\}\)

Równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 5\).

## Sposób 1 - Rozkład na czynniki + zerowanie każdego nawiasu

Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden czynnik jest równy zero**. Mamy więc dwa przypadki do rozwiązania niezależnie.

**Przypadek A: \(x^3 - 8 = 0\)**

Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów (Dział 6, wzory skróconego mnożenia):
\[x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\]

Stąd:
\[(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0\]

- Z \(x - 2 = 0\) dostajemy \(\boxed{x = 2}\).

- Sprawdzamy \(x^2 + 2x + 4 = 0\):
\[\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0\]
**Brak rozwiązań rzeczywistych.**

**Przypadek B: \(x^2 - 4x - 5 = 0\)**

Liczymy wyróżnik:
\[\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\]

Pierwiastki:
\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}\]
\[x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

Stąd \(\boxed{x = -1}\) lub \(\boxed{x = 5}\).

**Wszystkie rozwiązania równania:**
\[\boxed{x = -1, \quad x = 2, \quad x = 5}\]

## Sposób 2 - Rozkład trójmianu na iloraz przez próbne pierwiastki

**Dla czynnika \(x^2 - 4x - 5\):** zamiast delty, możemy próbować rozłożyć na dwa nawiasy \((x - p)(x - q)\), gdzie \(p + q = 4\) i \(p \cdot q = -5\) (wzory Viète'a).

Szukamy dwóch liczb, których suma to \(4\), a iloczyn to \(-5\). Próbujemy:
\[5 + (-1) = 4 \quad \checkmark, \qquad 5 \cdot (-1) = -5 \quad \checkmark\]

Zatem:
\[x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)\]

Z \((x-5)(x+1) = 0\) bezpośrednio odczytujemy: \(x = 5\) lub \(x = -1\). Szybciej niż liczenie delty!

**Weryfikacja wszystkich wyników** - podstawiamy do oryginalnego równania:

| \(x\) | \(x^3 - 8\) | \(x^2 - 4x - 5\) | Iloczyn |
| \(-1\) | \(-9\) | \(1+4-5 = 0\) | \(0\) ✓ |
| \(2\) | \(0\) | \(4-8-5 = -9\) | \(0\) ✓ |
| \(5\) | \(117\) | \(25-20-5=0\) | \(0\) ✓ |

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica sześcianów:
\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\]
Użyliśmy tego do rozkładu \(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\).

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Użyliśmy do rozwiązania \(x^2 - 4x - 5 = 0\) (Sposób 1) i do sprawdzenia braku rozwiązań \(x^2 + 2x + 4 = 0\).

**Dział 7 (s. 9)** - wzory Viète'a:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do inteligentnego rozkładu trójmianu.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(x^3 - 8 = 0\) to NIE JEST \(x^3 = 8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{8} = 2\) - to tylko jedno z możliwych podejść (które tu działa, bo szukamy rozwiązań rzeczywistych). Zawsze warto rozłożyć na czynniki i sprawdzić, czy drugi czynnik nie daje dodatkowych rozwiązań.

> ⚠️ **Uwaga:** Po rozłożeniu \(x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\) wielu uczniów „zapomina" sprawdzić drugi czynnik \(x^2 + 2x + 4\). Tu \(\Delta < 0\), więc brak pierwiastków rzeczywistych - ale zawsze trzeba to sprawdzić!

> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli w iloczynie otrzymasz \(x = 2\) zarówno z jednego, jak i z drugiego nawiasu, zapisujesz go **tylko raz** jako pierwiastek - nie dubluj rozwiązań.

**Rozwiązanie: \(x \in \{-1, 2, 5\}\)**

### Sposób 1 - Iloczyn = 0
**Czynnik 1:** \(x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\).

**Czynnik 2:** \(x^2 - 4x - 5 = 0\):
\(\Delta = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{\Delta} = 6\).
\(x_{1,2} = \tfrac{4 \pm 6}{2}\), czyli \(x_1 = -1\) lub \(x_2 = 5\).

Rozwiązania: \(x \in \{-1, 2, 5\}\).

### Sposób 2 - Rozkład iloczynowy
\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\). Drugi czynnik ma \(\Delta = 4-16 < 0\), brak rozwiązań rzeczywistych.
\(x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)\).
Ostatecznie: \(x = 2, x = 5, x = -1\).

**Odpowiedź:** \(\{-1, 2, 5\}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_