# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż nierówność \(3x^{2}-16x+16>0\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

\[x \in \left(-\infty,\ \frac{4}{3}\right) \cup \left(4,\ +\infty\right)\]

czyli \(x < \frac{4}{3}\) lub \(x > 4\).

## Sposób 1 - Wyróżnik i analiza znaku trójmianu

**Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu \(3x^2 - 16x + 16\).**

Obliczamy wyróżnik:
\[\Delta = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64\]

Ponieważ \(\Delta = 64 > 0\), trójmian ma **dwa różne pierwiastki rzeczywiste**:
\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 8}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\]
\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{16 + 8}{6} = \frac{24}{6} = 4\]

**Krok 2: Ustalamy kształt paraboli.**

Współczynnik przy \(x^2\) to \(a = 3 > 0\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę** (kształt ∪).

**Krok 3: Odczytujemy znak trójmianu.**

Trójmian kwadratowy z \(a > 0\) jest:
- **ujemny** (poniżej osi \(OX\)) dla \(x \in \langle x_1, x_2 \rangle\)
- **dodatni** (powyżej osi \(OX\)) dla \(x < x_1\) lub \(x > x_2\)

Szukamy \(3x^2 - 16x + 16 > 0\), czyli kiedy trójmian jest **dodatni**:

\[\boxed{x < \frac{4}{3} \quad \text{lub} \quad x > 4}\]

## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (postać iloczynowa)

Skoro znamy pierwiastki \(x_1 = \frac{4}{3}\) i \(x_2 = 4\), możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej:
\[3x^2 - 16x + 16 = 3\left(x - \frac{4}{3}\right)(x - 4)\]

**Sprawdzenie rozkładu:**
\[3\left(x - \frac{4}{3}\right)(x - 4) = 3\left(x^2 - 4x - \frac{4}{3}x + \frac{16}{3}\right) = 3\left(x^2 - \frac{16}{3}x + \frac{16}{3}\right) = 3x^2 - 16x + 16 \checkmark\]

**Rozwiązujemy nierówność:**
\[3\underbrace{\left(x - \frac{4}{3}\right)}_{A}\underbrace{(x - 4)}_{B} > 0\]

Stały czynnik \(3 > 0\) nie zmienia znaku nierówności. Badamy znaki czynników \(A\) i \(B\):

| Przedział | \(A = x - \frac{4}{3}\) | \(B = x - 4\) | Iloczyn \(A \cdot B\) |
| \(x < \frac{4}{3}\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) ✓ |
| \(\frac{4}{3} < x < 4\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) ✗ |
| \(x > 4\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) ✓ |

**Wynik:** \(x \in \left(-\infty, \frac{4}{3}\right) \cup \left(4, +\infty\right)\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**

Wyróżnik i miejsca zerowe:
\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \(x_1 = \frac{4}{3}\), \(x_2 = 4\).

Postać iloczynowa (gdy \(\Delta \geq 0\)):
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Użyte w Sposobie 2 do rozkładu trójmianu i analizy znaku.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \(a > 0\), trójmian jest **większy od zera NA ZEWNĄTRZ** pierwiastków (nie między nimi). Uczniowie często mylą kierunek i podają \(\frac{4}{3} < x < 4\) - to jest odpowiedź do nierówności \(< 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\(> 0\)), więc punkty \(x = \frac{4}{3}\) i \(x = 4\) **nie należą** do rozwiązania. Gdyby było \(\geq 0\), bralibyśmy przedziały domknięte.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(\Delta\) pamiętaj, że \(b = -16\), więc \(b^2 = (-16)^2 = 256\), nie \(-256\). Błąd znaku tu jest bardzo częsty!

**Rozwiązanie: \(x \in \left(-\infty, \dfrac{4}{3}\right) \cup (4, +\infty)\)**

### Sposób 1 - Delta
\(\Delta = 256 - 192 = 64\), \(\sqrt{\Delta} = 8\).
\[x_{1,2} = \dfrac{16 \pm 8}{6}, \quad x_1 = \dfrac{4}{3}, \quad x_2 = 4.\]

Współczynnik przy \(x^2\) dodatni (\(3 > 0\)) → parabola ramiona w górę. Nierówność \(>0\) zachodzi **poza** pierwiastkami:
\[x \in \left(-\infty, \tfrac{4}{3}\right) \cup (4, +\infty).\]

### Sposób 2 - Wzory Viète'a
\(x_1 x_2 = \tfrac{16}{3}\), \(x_1 + x_2 = \tfrac{16}{3}\). Dobieramy: \(x_1 = \tfrac{4}{3}\), \(x_2 = 4\) ✓.

**Odpowiedź:** \(x < \tfrac{4}{3}\) lub \(x > 4\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_