# Matematyka — zadanie 28 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/28 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Równania i nierówności ## Treść Zadanie 28. (0-2) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 2 2 3 2 3 0 a ab b ≥ MMA_1P Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a^2 - 2ab + 3b^2 ≥ 0. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a, b \in \mathbb{R}\) Zadanie polega na **wykazaniu** (dowodzie), że wyrażenie \(3a^2 - 2ab + 3b^2\) jest zawsze nieujemne - dla wszystkich par liczb rzeczywistych \(a, b\). ## Sposób 1 - Rozbicie na sumę kwadratów **Cel:** przekształcamy wyrażenie do postaci będącej sumą kwadratów - takie wyrażenia są zawsze \(\geq 0\). **Krok 1.** Spróbujmy "wyłuskać" z \(3a^2 - 2ab + 3b^2\) pełny kwadrat zawierający \(ab\). Zauważamy, że \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), więc wyraz \(-2ab\) już mamy! Dokładamy odpowiednie współczynniki: \[3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2\] **Krok 2.** Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia: \[(a^2 - 2ab + b^2) = (a - b)^2\] Zatem: \[3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a-b)^2 + 2a^2 + 2b^2\] **Krok 3.** Oszacowujemy każdy składnik: - \((a-b)^2 \geq 0\) - kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny - \(2a^2 \geq 0\) - analogicznie - \(2b^2 \geq 0\) - analogicznie Zatem: \[3a^2 - 2ab + 3b^2 = \underbrace{(a-b)^2}_{\geq\, 0} + \underbrace{2a^2}_{\geq\, 0} + \underbrace{2b^2}_{\geq\, 0} \geq 0\] **Wniosek:** Suma trzech wyrażeń nieujemnych jest nieujemna. Nierówność \(3a^2 - 2ab + 3b^2 \geq 0\) jest prawdziwa dla wszystkich \(a, b \in \mathbb{R}\). \(\blacksquare\) ## Sposób 2 - Traktowanie jako trójmian kwadratowy względem \(a\) **Pomysł:** patrzymy na \(3a^2 - 2ab + 3b^2\) jako **trójmian kwadratowy względem \(a\)**, gdzie \(b\) jest parametrem. Mamy postać \(f(a) = 3a^2 - 2ba + 3b^2\), czyli: \[A = 3, \quad B = -2b, \quad C = 3b^2\] **Krok 1.** Obliczamy wyróżnik \(\Delta\): \[\Delta = B^2 - 4AC = (-2b)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3b^2 = 4b^2 - 36b^2 = -32b^2\] **Krok 2.** Analizujemy znak \(\Delta\): - Dla \(b \neq 0\): \(\Delta = -32b^2 < 0\) - trójmian nie ma miejsc zerowych - Dla \(b = 0\): \(\Delta = 0\), a trójmian wynosi \(3a^2 \geq 0\) **Krok 3.** Wyciągamy wniosek: Skoro współczynnik przy \(a^2\) wynosi \(A = 3 > 0\) (ramiona paraboli skierowane w górę), a \(\Delta \leq 0\), to trójmian **nie przyjmuje wartości ujemnych** - jego wykres leży na osi \(OX\) lub powyżej niej. Zatem: \[3a^2 - 2ab + 3b^2 \geq 0 \quad \text{dla wszystkich } a, b \in \mathbb{R}\] **Wniosek:** Nierówność jest udowodniona. \(\blacksquare\) ## Wzory z karty CKE **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór: \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] Użyliśmy go w Sposobie 1 do rozpoznania pełnego kwadratu w przekształceniu. **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i jego zastosowanie: \[\Delta = B^2 - 4AC\] Kluczowy fakt: jeśli \(A > 0\) i \(\Delta \leq 0\), to trójmian kwadratowy jest **zawsze nieujemny**. Użyliśmy tego w Sposobie 2. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Samo stwierdzenie "kwadraty są nieujemne, więc wyrażenie jest nieujemne" to **za mało** - musisz pokazać konkretne przekształcenie algebraiczne i uzasadnić każdy krok. > ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 nie zapomnij sprawdzić przypadku \(b = 0\) osobno (choć tu wychodzi trywialnie). Przy \(\Delta < 0\) nie wolno "zapomnieć" o przypadku \(\Delta = 0\). > ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd przy rozbijaniu na kwadraty - pomylenie współczynników. Sprawdź zawsze przez rozwinięcie: \((a-b)^2 + 2a^2 + 2b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2a^2 + 2b^2 = 3a^2 - 2ab + 3b^2\) ✓ **Dowód.** ### Sposób 1 - Rozkład na sumę kwadratów \[3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2 = (a-b)^2 + 2a^2 + 2b^2.\] Każdy składnik jest nieujemny (kwadrat liczby rzeczywistej \(\ge 0\)), więc suma \(\ge 0\). \(\blacksquare\) ### Sposób 2 - Traktowanie jak trójmian w \(a\) Dla ustalonego \(b\) rozważamy \(f(a) = 3a^2 - 2ab + 3b^2\): - współczynnik przy \(a^2\): \(3 > 0\) - \(\Delta_a = 4b^2 - 36b^2 = -32b^2 \le 0\) Trójmian o dodatnim współczynniku przy \(a^2\) i \(\Delta \le 0\) przyjmuje wyłącznie wartości \(\ge 0\). \(\blacksquare\) ### Sposób 3 - Nierówność \(a^2+b^2\ge 2ab\) Z \((a-b)^2 \ge 0\): \(a^2 + b^2 \ge 2ab\). Zatem \(3a^2 + 3b^2 \ge 3\cdot 2ab = 6ab \ge 2ab\) (dla \(ab \ge 0\)) Lepszy jest sposób 1. \(\blacksquare\) **Kluczowe:** rozpoznanie \((a-b)^2\) w wyrażeniu. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/28) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F28) ## Podobne zadania - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-4) Wykaż, że dla , , , 0 a b c d > prawdziwa jest nierówność a b c d ac bd ⋅ ≥ MMA_1R Wykaż, że dla a,b,c,d > 0 prawdziwa jest nierówność √(a+b)⋅√ - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (0-3) Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝒙 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝒚 prawdziwa jest nierówność 𝟏 𝒙+ 𝟏 𝒚 ≤ 𝒙 𝒚𝟐+ 𝒚 - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej 𝒂 i każdej liczby dodatniej 𝒃 takich, że 𝒂+ 𝒃= 𝟏, prawdziwa jest nierówność 𝟏 𝟐𝒂+ 𝒃+ 𝟏 𝒂+ 𝟐𝒃≥𝟒 𝟑 MMAP-R0_ - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑎+ 𝑏= 1, prawdziwa jest nierówność 1 2𝑎+ 𝑏+ 1 𝑎+ 2𝑏≥4 3 EMAP-R0_ _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_