# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Planimetria, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 29. (0-2)
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza
punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S
poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
A
C
B
S
D
r
r
r
r
E

MMA_1P
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)

Należy wykazać, że \(\angle ASD = 3\alpha\), wiedząc że \(\angle ACS = \alpha\).

## Sposób 1 - Trójkąty równoramienne (krok po kroku od C do S)

**Krok 1: Trójkąt \(SBC\) jest równoramienny.**

Punkt \(B\) leży na okręgu, więc \(SB = r\). Odcinek \(BC = r\) z treści zadania. Zatem:
\[SB = BC = r\]

Trójkąt \(SBC\) jest równoramienny o ramionach \(SB = BC\), więc kąty przy podstawie \(SC\) są równe:
\[\angle BCS = \angle BSC = \alpha\]

Stąd kąt przy wierzchołku \(B\):
\[\angle SBC = 180° - 2\alpha\]

**Krok 2: Kąt \(\angle SBA = 2\alpha\).**

Punkty \(A, B, C\) są współliniowe (w kolejności \(A\text{-}B\text{-}C\)), więc kąty \(\angle SBA\) i \(\angle SBC\) są suplementarne:
\[\angle SBA = 180° - \angle SBC = 180° - (180° - 2\alpha) = 2\alpha\]

**Krok 3: Trójkąt \(SAB\) jest równoramienny.**

Punkty \(A\) i \(B\) leżą na okręgu, więc \(SA = SB = r\). Trójkąt \(SAB\) jest równoramienny, więc:
\[\angle SAB = \angle SBA = 2\alpha\]

Kąt przy wierzchołku \(S\):
\[\angle ASB = 180° - 2\alpha - 2\alpha = 180° - 4\alpha\]

**Krok 4: Kąt \(\angle ASC = 180° - 3\alpha\).**

Ponieważ \(B\) leży między \(A\) i \(C\) na prostej, a \(S\) nie leży na tej prostej, promień \(SB\) leży wewnątrz kąta \(\angle ASC\). Zatem:
\[\angle ASC = \angle ASB + \angle BSC = (180° - 4\alpha) + \alpha = 180° - 3\alpha\]

**Krok 5: Kąt \(\angle ASD = 3\alpha\).**

Prosta \(CS\) przecina okrąg w punktach \(D\) i \(E\), przy czym \(S\) jest środkiem okręgu, więc \(S\) leży między \(D\) i \(E\). Z treści zadania \(C\) leży za punktem \(E\) poza okręgiem (kolejność na prostej: \(D\text{-}S\text{-}E\text{-}C\)). Zatem \(S\) leży między \(D\) i \(C\), a promienie \(SD\) i \(SC\) są przeciwne. Kąty \(\angle ASD\) i \(\angle ASC\) są suplementarne:
\[\angle ASD = 180° - \angle ASC = 180° - (180° - 3\alpha) = \boxed{3\alpha} \quad \blacksquare\]

## Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie \(ACS\)

Korzystamy z wyników Kroku 1 i 2 powyżej (trójkąt \(SBC\) równoramienny → \(\angle SBA = 2\alpha\)).

**Kąt \(\angle SAC\):**

Punkty \(A, B, C\) są współliniowe (kolejność \(A\text{-}B\text{-}C\)), więc kąt przy wierzchołku \(A\) między \(AS\) a prostą \(AC\) jest taki sam jak \(\angle SAB\). Z Kroku 3 (trójkąt \(SAB\) równoramienny):
\[\angle SAC = \angle SAB = 2\alpha\]

**Suma kątów trójkąta \(ACS\):**
\[\angle ACS + \angle SAC + \angle ASC = 180°\]
\[\alpha + 2\alpha + \angle ASC = 180°\]
\[\angle ASC = 180° - 3\alpha\]

**Kąt \(\angle ASD\)** (tak samo jak w Sposobie 1: \(D\) i \(C\) po przeciwnych stronach \(S\)):
\[\angle ASD = 180° - \angle ASC = 180° - (180° - 3\alpha) = 3\alpha \quad \blacksquare\]

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu **nie używamy gotowych wzorów z karty CKE** - dowód opiera się wyłącznie na:

- **Właściwości trójkąta równoramiennego** (kąty przy podstawie są równe) - to definicja/podstawowa własność, niewymagająca karty.
- **Twierdzeniu o sumie kątów trójkąta** (suma = 180°) - podstawowy fakt geometryczny.
- **Kątach suplementarnych** (kąty na prostej sumują się do 180°).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Klucz do zadania to rozpoznanie **dwóch trójkątów równoramiennych** - \(SBC\) (bo \(SB = BC = r\)) i \(SAB\) (bo \(SA = SB = r\)). Bez tego spostrzeżenia nie ma skąd wziąć kąta \(2\alpha\).

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kolejność punktów na prostej \(CS\). Kolejność to \(D\text{-}S\text{-}E\text{-}C\) - punkt \(C\) jest **poza** okręgiem, za punktem \(E\). Dlatego \(S\) leży **między** \(D\) i \(C\), co gwarantuje suplementarność kątów \(\angle ASD\) i \(\angle ASC\).

> ⚠️ **Uwaga:** W Kroku 4 korzystamy z faktu, że promień \(SB\) leży **wewnątrz** kąta \(\angle ASC\), bo \(B\) leży między \(A\) i \(C\) na prostej (a \(S\) nie leży na tej prostej). Bez tego uzasadnienia nie możemy zapisać \(\angle ASC = \angle ASB + \angle BSC\).

**Dowód.**

### Sposób 1 - Łańcuch trójkątów równoramiennych
**Krok 1 - trójkąt \(BSC\) równoramienny.** Z warunku \(|BC| = r = |SB|\), trójkąt \(BSC\) jest równoramienny. Kąty przy podstawie \(SC\):
\[\angle BSC = \angle BCS = \alpha.\]

**Krok 2 - kąt \(\angle SBC\):** z sumy kątów trójkąta:
\[\angle SBC = 180^\circ - 2\alpha.\]

**Krok 3 - kąt \(\angle SBA\)** (kąt przyległy, bo \(A, B, C\) kolinearne):
\[\angle SBA = 180^\circ - \angle SBC = 2\alpha.\]

**Krok 4 - trójkąt \(ASB\) równoramienny** (\(|SA| = |SB| = r\)):
\[\angle SAB = \angle SBA = 2\alpha.\]
Kąt \(\angle ASB = 180^\circ - 4\alpha\).

**Krok 5 - kąt \(\angle ASC\):** suma kątów w trójkącie \(ASC\):
\[\angle ASC = 180^\circ - \angle SAC - \angle ACS = 180^\circ - 2\alpha - \alpha = 180^\circ - 3\alpha.\]

**Krok 6 - kąt \(\angle ASD\).** Punkty \(D\), \(S\), \(E\), \(C\) są kolinearne (na prostej \(CS\)), przy czym \(D\) i \(E\) są po przeciwnych stronach \(S\). Kąt \(\angle ASD\) i \(\angle ASC\) są kątami przyległymi:
\[\angle ASD = 180^\circ - \angle ASC = 180^\circ - (180^\circ - 3\alpha) = 3\alpha. \quad \blacksquare\]

**Kluczowe kroki:**
- dwa trójkąty równoramienne (z promieniami jako ramionami)
- kąt zewnętrzny = suma kątów wewnętrznych nieprzyległych

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (4 pkt) Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz rysunek). Udowodnij, że AC FG A B C D G H E F Poziom rozszerzony
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (4 pkt) W dowolnym trójkącie ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i BC (Rys. 1). Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem: Korz
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (4 pkt) W trójkącie prostokątnym ABC ( 90 BCA = D ) ) dane są długości przyprostokątnych: a BC = i b CA = . Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta p
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-3) W trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 przez punkt 𝑂 przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków 𝐵𝐶 i 𝐴𝐷. Prosta równ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_