# Matematyka — zadanie 3

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/3
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste, procenty

## Treść

Zadanie 3. (0-1)
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była
równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów
o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku
zmniejszyła się o
A. 1%
B. 25%
C. 33%
D. 75%
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A. 1%; B. 25\%; C. 33%; D. 75%.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(25\%\)

## Sposób 1 - obliczenie procentowe zmiany

**Pytanie brzmi: o ile procent zmalała prowizja?**

Kluczowe rozróżnienie: pytanie NIE pyta o to, ile punktów procentowych zmalała prowizja (to wiemy od razu - o 1 punkt procentowy). Pytanie pyta o **procentową zmianę samej prowizji**.

Dane:
- Prowizja w styczniu: \(4\%\)
- Obniżka: \(1\) punkt procentowy
- Prowizja w lutym: \(4\% - 1\% = 3\%\)

Zmiana procentowa prowizji:
\[\text{zmiana} = \frac{\text{wartość stara} - \text{wartość nowa}}{\text{wartość stara}} \cdot 100\%\]

\[\text{zmiana} = \frac{4\% - 3\%}{4\%} \cdot 100\% = \frac{1\%}{4\%} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = \mathbf{25\%}\]

**Prowizja zmniejszyła się o \(25\%\).**

## Sposób 2 - przez konkretną kwotę kredytu

Podstawmy przykładowy kredyt o wartości \(100\,000\) zł, żeby zobaczyć to na liczbach.

- Prowizja w styczniu: \(4\% \cdot 100\,000 = 4\,000\) zł
- Prowizja w lutym: \(3\% \cdot 100\,000 = 3\,000\) zł
- Różnica: \(4\,000 - 3\,000 = 1\,000\) zł

O ile procent zmalała prowizja?
\[\frac{1\,000}{4\,000} \cdot 100\% = 25\%\]

**Wynik ten sam: prowizja zmalała o \(25\%\).**

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentowej zmiany wartości i podstawowe działania arytmetyczne.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A. \(1\%\) | Mylenie **punktów procentowych** z **procentami** - obniżka wyniosła 1 punkt procentowy, ale to NIE znaczy, że prowizja zmalała o \(1\%\) |
| C. \(33\%\) | Wzięto \(\frac{1}{3}\) zamiast \(\frac{1}{4}\) - ktoś podzielił przez nową wartość prowizji (\(3\%\)) zamiast przez starą (\(4\%\)): \(\frac{1}{3} \approx 33\%\) |
| D. \(75\%\) | Obliczono, jaką częścią starej prowizji jest NOWA prowizja: \(\frac{3}{4} = 75\%\) - to ile prowizja wynosi po zmianie, a nie o ile zmalała |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** **Punkt procentowy ≠ procent!** Obniżka o 1 punkt procentowy (z 4% na 3%) to zupełnie coś innego niż obniżka o 1% wartości prowizji. To klasyczna pułapka w zadaniach finansowych.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu zmiany procentowej zawsze dziel przez **wartość wyjściową (starą)**, nie przez nową. Pomylenie mianownika to najczęstszy błąd - stąd odpowiedź C.

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\(75\%\)) kusi, bo \(\frac{3}{4} = 75\%\) jest łatwe do policzenia - ale to informacja o tym, ile prowizja *pozostała*, a nie o ile *zmalała*.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Zmiana względna
Stara prowizja: \(4\%\). Nowa: \(4\% - 1\text{ pp} = 3\%\).
Spadek względny:
\[\dfrac{4\% - 3\%}{4\%} = \dfrac{1}{4} = 25\%.\]

### Sposób 2 - Proporcja
Zmniejszenie z \(4\%\) do \(3\%\) to \(\tfrac{3}{4} = 75\%\) pierwotnej wartości, czyli spadek o \(100\% - 75\% = 25\%\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(1\%\)** - to **punkt procentowy**, nie procent. Różne pojęcia!
- **C. \(33\%\)** - byłoby gdyby wzięto \(\tfrac{1}{3}\); źle policzony stosunek.
- **D. \(75\%\)** - to **pozostała** część prowizji, nie spadek.

**Kluczowe rozróżnienie:** "\(1\) punkt procentowy" to bezwzględna różnica procentów. "O \(X\%\)" to względny spadek.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Analiza zmian prowizji
Rozważmy, jak zmieniła się prowizja. Początkowo prowizja wynosiła 4%, a następnie obniżono ją o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja obniżyła się o 1%.

* Początkowa prowizja: 4%
* Obniżenie: 1%
* Nowa prowizja: 4% - 1% = 3%

To nie jest poprawne. Musimy obliczyć, o ile procent zmniejszyła się prowizja.

Początkowa prowizja to 4%, a po obniżeniu prowizja wynosi 4% - 1% = 3%. Zatem, prowizja zmniejszyła się o 1%.

* Początkowa prowizja: 4%
* Obniżenie: 1 punkt procentowy (czyli 1%)
* Nowa prowizja: 4% - 1% = 3%

**Sposób 2: Obliczenie procentowego zmniejszenia**

Zmniejszenie prowizji o 1 punkt procentowy oznacza, że prowizja zmniejszyła się o 1% wartości początkowej prowizji, która wynosiła 4%.

Zatem, zmniejszenie wynosi: 1% z 4% = 0.01 * 0.04 = 0.004 = 0.4%

To nie jest poprawne. Musimy obliczyć, o ile procent zmniejszyła się prowizja.

Początkowa prowizja to 4%, a po obniżeniu prowizja wynosi 4% - 1% = 3%. Zatem, prowizja zmniejszyła się o (4% - 3%) = 1%.

* Początkowa prowizja: 4%
* Obniżenie: 1%
* Nowa prowizja: 3%
* Zmniejszenie: 4% - 3% = 1%

📖 Karta wzorów: s.4, strona 10 (Procent składany)

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. 1%** - Prowizja zmniejszyła się o 1%, a nie o 1% wartości początkowej prowizji.
* **C. 33%** - To jest absurdalnie wysoka wartość zmniejszenia, która nie ma związku z danymi w zadaniu.
* **D. (na zdjęciu)** - Nie ma tutaj żadnego wzoru.

Prawidłowa odpowiedź to B, ponieważ prowizja zmniejszyła się o 1%, a nie o 1% wartości początkowej prowizji.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/3)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F3)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_