# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 30. (0-2)
Ze zbioru liczb {
}
1, 2, 3, 4, 5 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest
liczbą nieparzystą.
Odpowiedź:

MMA_1P
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(P(A) = \frac{9}{25}\)

## Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.**

Losujemy dwa razy ze zwracaniem z 5-elementowego zbioru, więc każde losowanie jest niezależne i daje 5 możliwości.

\[|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25\]

**Krok 2: Kiedy iloczyn jest nieparzysty?**

Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty **wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste**.

> Wystarczy, że choć jedna liczba jest parzysta - iloczyn od razu staje się parzysty.

**Krok 3: Liczymy liczby nieparzyste w zbiorze.**

Ze zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\):
- Nieparzyste: \(\{1, 3, 5\}\) → **3 liczby**
- Parzyste: \(\{2, 4\}\) → 2 liczby

**Krok 4: Liczymy zdarzenia sprzyjające.**

Potrzebujemy, by **pierwsze losowanie** dało liczbę nieparzystą (3 możliwości) **i drugie losowanie** dało liczbę nieparzystą (3 możliwości):

\[|A| = 3 \cdot 3 = 9\]

**Krok 5: Obliczamy prawdopodobieństwo.**

\[\boxed{P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{9}{25}}\]

## Sposób 2 - Prawdopodobieństwo geometryczne / niezależność zdarzeń

Definiujemy zdarzenia:
- \(B_1\) = "pierwsze wylosowanie dało liczbę nieparzystą"
- \(B_2\) = "drugie wylosowanie dało liczbę nieparzystą"

Ponieważ losujemy **ze zwracaniem**, losowania są **niezależne**, więc:

\[P(B_1) = \frac{3}{5}, \qquad P(B_2) = \frac{3}{5}\]

Zdarzenie \(A = B_1 \cap B_2\), więc z niezależności:

\[P(A) = P(B_1) \cdot P(B_2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\]

**Wynik zgodny ze Sposobem 1.** ✓

> Gdybyśmy losowali **bez zwracania**, zdarzenia NIE byłyby niezależne i musielibyśmy użyć prawdopodobieństwa warunkowego. Zwracanie jest tu kluczowe!

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - klasyczna definicja:
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \(P(A) = \frac{9}{25}\).

**Dział 14 (s. 29-30)** - prawdopodobieństwo zdarzenia \(A \cap B\) dla zdarzeń niezależnych:
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]
Użyliśmy w Sposobie 2 - mnożenie prawdopodobieństw obu losowań.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to założenie, że "iloczyn nieparzysty" wystarczy, by jedna liczba była nieparzysta. **Nie - muszą być nieparzyste obie!** Np. \(3 \times 4 = 12\) - parzyste.

> ⚠️ **Uwaga:** Drugie słowo kluczowe w treści to **"ze zwracaniem"** - oznacza, że po pierwszym losowaniu wkładamy liczbę z powrotem, więc zbiór nie zmienia się i oba losowania są niezależne. Bez zwracania wynik byłby inny: \(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić "iloczyn nieparzysty" z "suma nieparzysta". Suma jest nieparzysta, gdy jedna liczba jest parzysta, a druga nieparzysta - zupełnie inny warunek!

**Odpowiedź: \(P(A) = \dfrac{9}{25}\)**

### Sposób 1 - Iloczyn nieparzysty ⟺ obie liczby nieparzyste
Iloczyn liczb jest nieparzysty, gdy **obie** są nieparzyste.

Nieparzyste w \(\{1,2,3,4,5\}\): \(\{1, 3, 5\}\) - 3 liczby.
\(P(\text{1. nieparzysta}) = \tfrac{3}{5}\), \(P(\text{2. nieparzysta}) = \tfrac{3}{5}\) (ze zwracaniem, niezależne).

\[P(A) = \tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}.\]

### Sposób 2 - Zliczanie par
\(|\Omega| = 5\cdot 5 = 25\).
Pary \((x,y)\) z obiema nieparzystymi: \(3\cdot 3 = 9\).
\[P(A) = \tfrac{9}{25}.\]

### Sposób 3 - Tabela
Można narysować tabelę \(5\times 5\) i zaznaczyć komórki z nieparzystym iloczynem (9 komórek).

**Odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{9}{25}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wyp
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 .
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_