# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 31. (0-2)
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu
ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze
(zobacz rysunek). Oblicz
długość przekątnej BD tego trapezu.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
30°
D
C
A
B
4
8

MMA_1P
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(BD = 2\sqrt{17}\)

## Sposób 1 - Trójkąt ACD i twierdzenie Pitagorasa

**Ustalamy układ i kąty w trapezie.**

Trapez prostokątny \(ABCD\): \(AB = 8\) (dłuższa podstawa, dół), \(DC\) - krótsza podstawa (góra). Kąt prosty w trapezie jest przy wierzchołku \(A\), czyli:
\[AD \perp AB\]

Ponieważ \(DC \parallel AB\), mamy też:
\[AD \perp DC\]

**Trójkąt \(ACD\) jest prostokątny** (kąt prosty przy \(D\)).

**Wyznaczamy wysokość trapezu i długość krótszej podstawy.**

Przekątna \(AC = 4\) tworzy z \(DC\) kąt \(30°\), więc w trójkącie prostokątnym \(ACD\):

\[AD = AC \cdot \sin 30° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\]

\[DC = AC \cdot \cos 30° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

Zatem **wysokość trapezu** \(h = AD = 2\).

**Wyznaczamy przekątną \(BD\).**

W trójkącie \(ABD\):
- \(AB = 8\)
- \(AD = 2\)
- kąt \(\angle DAB = 90°\) (kąt prosty trapezu)

Z twierdzenia Pitagorasa:
\[BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17}\]

\[\boxed{BD = 2\sqrt{17}}\]

## Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie

Wprowadzamy układ współrzędnych:
\[A = (0, 0), \quad B = (8, 0), \quad D = (0, 2), \quad C = (2\sqrt{3},\, 2)\]

**Weryfikacja warunków:**

- \(AB = 8\) ✓
- \(AD = 2\), \(DC = 2\sqrt{3} < 8\) → \(DC\) krótsza ✓
- \(AC = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4\) ✓
- Kąt między \(AC\) a \(DC\) przy \(C\):

\[\cos(\angle DCA) = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{CA}}{|CD||CA|} = \frac{(-2\sqrt{3})(-2\sqrt{3}) + 0 \cdot (-2)}{2\sqrt{3} \cdot 4} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\angle DCA = 30°\] ✓

**Obliczamy \(BD\):**
\[BD = \sqrt{(8-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}\] ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Użyte dwukrotnie: do wyznaczenia \(AD\), \(DC\) z trójkąta \(ACD\) oraz do obliczenia \(BD\) z trójkąta \(ABD\).

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja \(\sin\) i \(\cos\) w trójkącie prostokątnym:
\[\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}, \quad \cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\]
Użyte do odczytania \(AD = AC\cdot\sin 30°\) i \(DC = AC\cdot\cos 30°\).

**Dział 9 (s. 12)** - wartości dla kąta \(30°\):
\[\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(30°\) tworzy \(AC\) z **krótszą podstawą** \(DC\), nie z dłuższą \(AB\). Pomylenie tego prowadzi do użycia niewłaściwej przyprostokątnej w obliczeniach.

> ⚠️ **Uwaga:** Trapez jest **prostokątny**, więc kąt przy \(A\) to \(90°\), a trójkąt \(ACD\) jest prostokątny przy \(D\) - bo \(AD \perp DC\) (obie prostopadłe do \(AB\), które jest równoległe do \(DC\)). Bez dostrzeżenia tego prostokąta zadanie komplikuje się bez potrzeby.

> ⚠️ **Uwaga:** \(\sqrt{68} = 2\sqrt{17}\), nie \(4\sqrt{4}\) - warto rozłożyć pod pierwiastkiem: \(68 = 4 \cdot 17\).

**Odpowiedź: \(|BD| = 2\sqrt{17}\)**

### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \(ADC\)
Trapez prostokątny: \(AD \perp AB\), \(AD \perp DC\) (ramię \(AD\) prostopadłe do podstaw).

**Krok 1 - trójkąt \(ADC\).** W nim: \(\angle ADC = 90^\circ\), \(\angle ACD = 30^\circ\), \(|AC| = 4\).
\[|AD| = |AC|\sin(\angle ACD) = 4\sin 30^\circ = 4\cdot\tfrac{1}{2} = 2.\]

**Krok 2 - trójkąt \(ABD\).** Prostokątny przy \(A\): \(|AB| = 8\), \(|AD| = 2\).
\[|BD| = \sqrt{|AB|^2 + |AD|^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}.\]

### Sposób 2 - Długości + Pitagoras
Z trójkąta \(ADC\): \(|AD| = 2\), \(|DC| = 4\cos 30^\circ = 2\sqrt{3}\).
Z trójkąta \(ABD\) prostokątnego: \(|BD|^2 = 64+4 = 68\).
\(|BD| = 2\sqrt{17} \approx 8{,}25\).

**Odpowiedź:** \(|BD| = 2\sqrt{17}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (5 pkt) Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z tr
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-4) W trapezie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷 dłuższa podstawa 𝐴𝐵 ma długość 7,5. Krótsza przekątna 𝐴𝐶 ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prost
- [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-4) W trójkącie ABC dane są długości boków 15 AB i 12 AC = oraz 4 5 cosα = , gdzie BAC α =  . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpow
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19) — Zadanie 19. (0-3) Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 400 cm2. Figurę tę podzielono na kwadrat K1 o polu 49 cm2 i kwadrat K2 oraz figurę F (patrz rysun

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_