# Matematyka — zadanie 32 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/32 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Ciągi, średnia arytmetyczna, statystyka ## Treść Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: , , , , , , jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której 78. k a = - ( ) n a 1 ≥ n 1a 2a 3a 4a 5a 6a MMA_1P Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 32. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt MMA_1P Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r=-4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której a_k = -78. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: **a)** \(a_1 = 26\) **b)** \(k = 27\) ## Sposób 1 - przez sumę pierwszych sześciu wyrazów ### Część a) Średnia arytmetyczna sześciu liczb to ich suma podzielona przez 6: \[\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = 16\] Zatem suma pierwszych sześciu wyrazów: \[S_6 = 6 \cdot 16 = 96\] Korzystamy ze wzoru na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \[S_6 = \frac{2a_1 + (6-1) \cdot r}{2} \cdot 6 = 3(2a_1 + 5r)\] Podstawiamy \(S_6 = 96\) i \(r = -4\): \[3(2a_1 + 5 \cdot (-4)) = 96\] \[3(2a_1 - 20) = 96\] \[2a_1 - 20 = 32\] \[2a_1 = 52\] \[\boxed{a_1 = 26}\] ### Część b) Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \(a_n = a_1 + (n-1)r\) Szukamy \(k\) takiego, że \(a_k = -78\): \[a_1 + (k-1) \cdot r = -78\] \[26 + (k-1) \cdot (-4) = -78\] \[(k-1) \cdot (-4) = -78 - 26 = -104\] \[k - 1 = \frac{-104}{-4} = 26\] \[\boxed{k = 27}\] ## Sposób 2 - przez środkowe wyrazy (sprytna obserwacja) ### Część a) W ciągu arytmetycznym średnia arytmetyczna skończonej liczby kolejnych wyrazów **równa się średniej arytmetycznej wyrazów symetrycznie odległych od środka**. Dla 6 wyrazów: \[\text{średnia} = \frac{a_3 + a_4}{2} = 16\] Stąd: \[a_3 + a_4 = 32\] Wyrażamy oba przez \(a_1\) i \(r = -4\): \[a_3 = a_1 + 2r = a_1 - 8\] \[a_4 = a_1 + 3r = a_1 - 12\] Podstawiamy: \[(a_1 - 8) + (a_1 - 12) = 32\] \[2a_1 - 20 = 32\] \[\boxed{a_1 = 26}\] ### Część b) - weryfikacja Sprawdzamy, czy \(a_{27} = -78\): \[a_{27} = 26 + 26 \cdot (-4) = 26 - 104 = -78 \checkmark\] Sprawdzamy też warunek z treści - wyrazy \(a_1\) do \(a_6\): \[26,\ 22,\ 18,\ 14,\ 10,\ 6\] \[\text{Suma} = 96, \quad \text{Średnia} = \frac{96}{6} = 16 \checkmark\] ## Wzory z karty CKE **Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \[a_n = a_1 + (n-1)r\] Użyty w obu częściach - w a) do wyprowadzenia równania, w b) do znalezienia \(k\). Wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\] Użyty w Sposobie 1 (część a) do przeliczenia sumy \(S_6\) na \(a_1\). Własność wyrazów środkowych (wynika z definicji ciągu arytmetycznego): \[a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\] Z tej samej strony - podstawa Sposobu 2 (średnia 6 wyrazów = średnia wyrazów symetrycznych). ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Wzór na sumę \(S_n\) zawiera \((n-1)r\), **nie** \(n \cdot r\). Bardzo częsty błąd to napisanie \(2a_1 + 6r\) zamiast \(2a_1 + 5r\) dla \(n=6\). > ⚠️ **Uwaga:** W części b) po wyznaczeniu \(k - 1 = 26\) łatwo zapomnieć o dodaniu jedynki i podać \(k = 26\). Zawsze sprawdź przez podstawienie! > ⚠️ **Uwaga:** Różnica \(r = -4\) jest **ujemna** - ciąg maleje. Przy obliczeniach \((k-1) \cdot (-4) = -104\) uważaj na znaki: dzielimy obie strony przez \(-4\), więc \(k - 1 = 26\) (nie \(-26\)). **Odpowiedź: a) \(a_1 = 26\); b) \(k = 27\)** ### a) Pierwszy wyraz **Sposób 1 - przez wzór na sumę:** \(\bar{a} = \tfrac{S_6}{6} = \tfrac{6a_1 + 15r}{6} = a_1 + \tfrac{15r}{6} = a_1 + \tfrac{5r}{2}\). \[a_1 + \tfrac{5\cdot(-4)}{2} = 16 \Rightarrow a_1 - 10 = 16 \Rightarrow a_1 = 26.\] **Sposób 2 - średnia skrajnych wyrazów:** Dla ciągu arytmetycznego \(\tfrac{S_6}{6} = \tfrac{a_1 + a_6}{2} = \tfrac{2a_1 + 5r}{2}\). \[16 = \tfrac{2a_1 - 20}{2} = a_1 - 10 \Rightarrow a_1 = 26.\] ### b) Wyznaczenie \(k\) dla \(a_k = -78\) \(a_k = a_1 + (k-1)r = 26 + (k-1)(-4) = 30 - 4k\). \[30 - 4k = -78 \Rightarrow 4k = 108 \Rightarrow k = 27.\] **Sprawdzenie:** \(a_{27} = 26 + 26\cdot(-4) = 26 - 104 = -78\) ✓. **Odpowiedzi:** \(a_1 = 26\); \(k = 27\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/32) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F32) ## Podobne zadania - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975 - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_