# Matematyka — zadanie 33 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/33 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, funkcja liniowa ## Treść Zadanie 33. (0-4) Dany jest punkt ( ) 18,10 A = - . Prosta o równaniu 3 y x jest symetralną odcinka AB Wyznacz współrzędne punktu . B MMA_1P Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 33. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt MMA_1P Dany jest punkt A = (-18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(B = \left(\frac{102}{5},\ -\frac{14}{5}\right)\) ## Sposób 1 - układ warunków symetralnej Symetralna odcinka \(AB\) to prosta, która: 1. **Przechodzi przez środek** odcinka \(AB\) 2. **Jest prostopadła** do odcinka \(AB\) Niech \(B = (x_B, y_B)\). Korzystamy z obu warunków. **Warunek 1: środek odcinka \(AB\) leży na prostej \(y = 3x\)** Środek \(M\) odcinka \(AB\): \[M = \left(\frac{-18 + x_B}{2},\ \frac{10 + y_B}{2}\right)\] Warunek \(M \in \{y = 3x\}\): \[\frac{10 + y_B}{2} = 3 \cdot \frac{-18 + x_B}{2}\] \[10 + y_B = -54 + 3x_B\] \[\boxed{y_B = 3x_B - 64} \tag{1}\] **Warunek 2: prosta \(AB\) jest prostopadła do \(y = 3x\)** Nachylenie \(y = 3x\) wynosi \(a_1 = 3\). Dla prostopadłości potrzeba \(a_1 \cdot a_2 = -1\), zatem nachylenie \(AB\) wynosi \(a_2 = -\frac{1}{3}\). Nachylenie odcinka \(AB\): \[\frac{y_B - 10}{x_B - (-18)} = -\frac{1}{3}\] \[3(y_B - 10) = -(x_B + 18)\] \[3y_B - 30 = -x_B - 18\] \[\boxed{y_B = \frac{-x_B + 12}{3}} \tag{2}\] **Rozwiązanie układu (1) i (2):** \[3x_B - 64 = \frac{-x_B + 12}{3}\] \[9x_B - 192 = -x_B + 12\] \[10x_B = 204\] \[x_B = \frac{204}{10} = \frac{102}{5}\] Podstawiamy do (1): \[y_B = 3 \cdot \frac{102}{5} - 64 = \frac{306}{5} - \frac{320}{5} = -\frac{14}{5}\] **Wynik: \(B = \left(\dfrac{102}{5},\ -\dfrac{14}{5}\right)\)** ## Sposób 2 - odbicie symetryczne przez prostą Jeśli \(y = 3x\) jest symetralną \(AB\), to \(B\) jest **odbiciem punktu \(A\) względem prostej** \(y = 3x\), czyli \(3x - y = 0\). Wzór na stopę prostopadłej z punktu \(A = (x_0, y_0)\) na prostą \(Ax + By + C = 0\): Prosta prostopadła do \(y = 3x\) (czyli \(3x - y = 0\)) przechodząca przez \(A = (-18, 10)\) ma nachylenie \(-\frac{1}{3}\): \[y - 10 = -\frac{1}{3}(x + 18)\] \[y = -\frac{1}{3}x - 6 + 10 = -\frac{1}{3}x + 4\] Punkt przecięcia z \(y = 3x\) (to jest środek \(M\)): \[3x = -\frac{1}{3}x + 4\] \[\frac{10}{3}x = 4 \implies x = \frac{6}{5},\quad y = \frac{18}{5}\] Środek \(M = \left(\frac{6}{5}, \frac{18}{5}\right)\) to **średnia** współrzędnych \(A\) i \(B\): \[x_B = 2 \cdot \frac{6}{5} - (-18) = \frac{12}{5} + \frac{90}{5} = \frac{102}{5}\] \[y_B = 2 \cdot \frac{18}{5} - 10 = \frac{36}{5} - \frac{50}{5} = -\frac{14}{5}\] **Wynik identyczny: \(B = \left(\dfrac{102}{5},\ -\dfrac{14}{5}\right)\) ✓** ## Weryfikacja - Środek \(M = \left(\frac{6}{5}, \frac{18}{5}\right)\): czy \(\frac{18}{5} = 3 \cdot \frac{6}{5}\)? Tak ✓ - Nachylenie \(AB\): \(\dfrac{-\frac{14}{5} - 10}{\frac{102}{5} + 18} = \dfrac{-\frac{64}{5}}{\frac{192}{5}} = -\frac{1}{3}\), a \(3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\) ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** Środek odcinka: \[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\] Użyliśmy przy warunku, że środek \(AB\) leży na symetralnej. Warunek prostopadłości prostych (nachylenia kierunkowe): \[a_1 \cdot a_2 = -1\] Użyliśmy przy wyznaczaniu kierunku \(AB\). ## Typowe pułapki > ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów stosuje tylko **jeden** warunek (np. tylko prostopadłość) i zapomina o warunku na środek - otrzymują wtedy prostą, a nie konkretny punkt. > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, co to "symetralna" - to nie jest prosta **równoległa** do \(AB\), lecz prostopadła i przez środek. Sprawdź czy pamiętasz oba warunki! > ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wychodzą ułamki, nie porzucaj obliczeń - na maturze wynik ułamkowy jest w pełni poprawny. Zawsze warto zweryfikować środek, wstawiając do \(y = 3x\). **Odpowiedź: \(B = \left(\dfrac{102}{5}, -\dfrac{14}{5}\right) = (20{,}4;\ -2{,}8)\)** ### Sposób 1 - Odbicie punktu \(A\) względem prostej Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek. \(B\) jest odbiciem \(A\) względem prostej \(y = 3x\) (czyli \(3x - y = 0\)). Wzór na odbicie \((x_0, y_0)\) względem \(ax+by+c=0\): \[x' = x_0 - \dfrac{2a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}, \quad y' = y_0 - \dfrac{2b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}.\] Dla \(3x-y=0\): \(a=3, b=-1, c=0\). Obliczamy \(3\cdot(-18) + (-1)\cdot 10 = -64\), oraz \(a^2+b^2 = 10\): \[x' = -18 - \dfrac{2\cdot 3\cdot(-64)}{10} = -18 + \dfrac{384}{10} = -18 + 38{,}4 = 20{,}4 = \tfrac{102}{5}\] \[y' = 10 - \dfrac{2\cdot(-1)\cdot(-64)}{10} = 10 - 12{,}8 = -2{,}8 = -\tfrac{14}{5}.\] ### Sposób 2 - Układ równań Niech \(B = (x, y)\). Dwa warunki: 1. Środek \(AB\) leży na \(y = 3x\): \(\tfrac{10+y}{2} = 3\cdot\tfrac{-18+x}{2}\) → \(y = 3x - 64\). 2. \(AB \perp\) symetralnej: iloczyn skalarny wektora \(AB\) i wektora kierunkowego \((1, 3)\) = 0: \[(x+18)\cdot 1 + (y-10)\cdot 3 = 0 \Rightarrow x + 3y = 12.\] Podstawiamy \(y = 3x-64\) do \(x + 3y = 12\): \[x + 3(3x-64) = 12 \Rightarrow 10x = 204 \Rightarrow x = \tfrac{102}{5}.\] \[y = 3\cdot\tfrac{102}{5} - 64 = \tfrac{306}{5} - \tfrac{320}{5} = -\tfrac{14}{5}.\] **Odpowiedź:** \(B = \left(\dfrac{102}{5}, -\dfrac{14}{5}\right)\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/33) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F33) ## Podobne zadania - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (7 pkt) Środek okręgu przechodzącego przez punkty ( ) 1, 4 A = i ( ) 6, 3 B = - leży na osi Ox. a) Wyznacz równanie tego okręgu. b) Wyznacz równanie - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Prosta 𝑘 o równaniu 𝑥+ 𝑦-9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 1 4 𝑥2 -3 2 𝑥+ 1 4 w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest licz - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (6 pkt) Punkt ( 2,5) A = - jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego , ABC w którym AC BC Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zaw - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-4, -2) i 𝐵= (-2, 10) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzcho _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_