# Matematyka — zadanie 34 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/34 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Stereometria ## Treść Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy /matma-quiz/images/cke/2019-Matematyka-PP/z34.png . Oblicz cosinus kąta \(\alpha\) . S D C 6 A 6 B \(MMA_{1}P\) Odpowiedź: Nr zadania --- | 5 | ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\) ## Sposób 1 - Z pola powierzchni wyznaczamy apotema, potem krawędź boczną **Krok 1: Pole podstawy** Podstawa to kwadrat o boku \(a = 6\): \[P_p = 6^2 = 36\] **Krok 2: Pole powierzchni całkowitej** Z waruniku zadania: \(P_c = 4 \cdot P_p\), więc: \[P_c = 4 \cdot 36 = 144\] **Krok 3: Pole powierzchni bocznej** \[P_b = P_c - P_p = 144 - 36 = 108\] **Krok 4: Apotema ściany bocznej \(h_s\)** Powierzchnia boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego to 4 trójkąty równoramienne: \[P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_s = 12h_s\] \[12h_s = 108 \implies h_s = 9\] **Krok 5: Wysokość ostrosłupa \(h\)** Apotema podstawy (odległość od środka podstawy do środka krawędzi) wynosi \(\frac{a}{2} = 3\). Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (apotema ściany - wysokość - apotema podstawy): \[h_s^2 = h^2 + 3^2\] \[81 = h^2 + 9 \implies h^2 = 72 \implies h = 6\sqrt{2}\] **Krok 6: Długość krawędzi bocznej \(l\)** Krawędź boczna łączy wierzchołek \(S\) ze wierzchołkiem np. \(A\). Rzut krawędzi na płaszczyznę podstawy to odcinek od środka \(O\) do wierzchołka \(A\) - czyli połowa przekątnej kwadratu: \[|OA| = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\] Zatem: \[l = \sqrt{h^2 + |OA|^2} = \sqrt{72 + 18} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\] **Krok 7: Cosinus kąta \(\alpha\)** Kąt \(\alpha\) to kąt między krawędzią boczną \(SA\) a płaszczyzną podstawy. Jego cosinus to stosunek rzutu krawędzi na podstawę do długości krawędzi: \[\cos\alpha = \frac{|OA|}{l} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}}\] \[\boxed{\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}}\] ## Sposób 2 - Przez tangensa kąta Po wyznaczeniu \(h = 6\sqrt{2}\) i \(|OA| = 3\sqrt{2}\) (te same kroki 1-5): Kąt \(\alpha\) między krawędzią \(SA\) a podstawą spełnia: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{h}{|OA|} = \frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 2\] Z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2 \implies \sin\alpha = 2\cos\alpha\] \[(2\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1\] \[5\cos^2\alpha = 1\] \[\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\] Wynik zgodny - **potwierdzamy**: \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\). ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - Ostrosłup: \[V = \frac{1}{3}P_p \cdot h, \quad P_b = \text{suma pól ścian bocznych}\] Użyliśmy wzoru na pole ściany bocznej (trójkąt o podstawie \(a\) i wysokości \(h_s\)). **Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa: \[h_s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\] Użyliśmy dwukrotnie: do wyznaczenia \(h\) i \(l\). **Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - Jedynka trygonometryczna (Sposób 2): \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\] ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Często myli się apotema ściany bocznej \(h_s\) (wysokość trójkątnej ściany bocznej) z wysokością ostrosłupa \(h\) - to dwa różne odcinki! > ⚠️ **Uwaga:** Rzut krawędzi bocznej na podstawę to odcinek od środka podstawy do **wierzchołka** (= połowa przekątnej = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)), a nie połowa boku. Pomylenie z apotema podstawy \(\frac{a}{2}\) to częsty błąd. > ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia krawędzi do podstawy mierzy się między krawędzią a jej rzutem prostopadłym na podstawę - nie między krawędzią a pionem (co dałoby kąt dopełniający). **Odpowiedź: \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)** ### Sposób 1 - Krok po kroku **Krok 1 - pola.** Podstawa kwadrat \(a = 6\). \(P_p = 36\), \(P_c = 4\cdot 36 = 144\). \(P_b = P_c - P_p = 108\). **Krok 2 - wysokość ściany bocznej \(h_{sc}\).** Pole ściany bocznej (trójkąt równoramienny) = \(\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_{sc}\). Cztery ściany boczne: \(P_b = 4\cdot\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot h_{sc} = 12 h_{sc} = 108 \Rightarrow h_{sc} = 9\). **Krok 3 - krawędź boczna \(b\).** W trójkącie \(ASM\) (M - środek krawędzi \(AB\)): \(|SM| = 9\), \(|AM| = 3\). \[b = |SA| = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81+9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}.\] **Krok 4 - \(\cos\alpha\).** Kąt \(\alpha\) między krawędzią boczną \(SA\) a podstawą. Rzut \(S\) na podstawę to \(O\) (środek kwadratu). \(|OA| = \tfrac{\text{przekątna}}{2} = \tfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\). \[\cos\alpha = \dfrac{|OA|}{|SA|} = \dfrac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{2}{10}} = \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}.\] ### Sposób 2 - Wysokość ostrosłupa Wysokość \(H\): \(h_{sc}^2 = H^2 + (a/2)^2 \Rightarrow 81 = H^2 + 9 \Rightarrow H = 6\sqrt{2}\). \(\tan\alpha = H/|OA| = 6\sqrt{2}/(3\sqrt{2}) = 2\). \(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\). **Odpowiedź:** \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/34) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F34) ## Podobne zadania - [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-5) Dany jest graniastosłup prosty 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o podstawie prostokątnej 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątne 𝐴𝐻 i 𝐴𝐹 ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze 𝛼 takiej, że - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy w - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-4) Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 6. Punkt 𝑆 jest punktem przecięcia przekątnych 𝐴𝐻 i 𝐷𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 (zobacz rysunek). Ob - [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/14) — Zadanie 14. (0-4) Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 6. Punkt 𝑆 jest punktem przecięcia przekątnych 𝐴𝐻 i 𝐷𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 (zobacz rysunek). O _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_