# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Układy równań, parametr

## Treść

\(\begin{cases} ax + y = 4 \\ -2 x + 3 y = 2 a \end{cases}\) Para liczb x = 2 i y = 2 jest rozwiązaniem układu równań dla

A. \(a = -1\)
B. \(a = 1\)
C. \(a = -2\)
D. \(a = 2\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B (\(a = 1\))

## Sposób 1 - podstawienie do obu równań

Wiemy, że \(x = 2\) i \(y = 2\) **spełnia oba równania układu**. Wystarczy więc podstawić te wartości i wyznaczyć \(a\).

**Równanie pierwsze:**
\[ax + y = 4\]
\[a \cdot 2 + 2 = 4\]
\[2a + 2 = 4\]
\[2a = 2\]
\[a = 1\]

**Sprawdzenie w równaniu drugim** (czy \(a = 1\) pasuje):
\[-2x + 3y = 2a\]
\[-2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 2 \cdot 1\]
\[-4 + 6 = 2\]
\[2 = 2 \checkmark\]

**Zatem \(a = 1\).**

## Sposób 2 - wyznaczenie \(a\) z drugiego równania i weryfikacja w pierwszym

Tym razem zacznijmy od **równania drugiego**:
\[-2x + 3y = 2a\]
\[-2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 2a\]
\[-4 + 6 = 2a\]
\[2 = 2a\]
\[a = 1\]

Weryfikacja w równaniu pierwszym:
\[ax + y = 4 \implies 1 \cdot 2 + 2 = 4 \implies 4 = 4 \checkmark\]

Oba równania są spełnione dla \(a = 1\).

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie znanych wartości \(x = 2\), \(y = 2\) do równań i rozwiązanie prostego równania liniowego ze względu na \(a\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \(a = -1\) | Błąd przy podstawieniu do równania pierwszego: np. \(2a + 2 = 4 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\) (zły kierunek), albo pomylenie znaku i wyliczenie \(a = -1\) zamiast \(a = 1\) |
| C. \(a = -2\) | Podstawienie tylko do równania drugiego z błędem: \(-4 + 6 = 2a \Rightarrow 2 = 2a\), ale pomyłka rachunkowa daje \(a = -2\) |
| D. \(a = 2\) | Błąd w równaniu pierwszym: \(2a + 2 = 4 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\) albo po prostu odczytanie \(a = y = 2\) bez rachunku |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Podstawiaj do **obu** równań - jedno równanie może nie wystarczyć do jednoznacznego wyznaczenia \(a\) (a w zadaniach egzaminacyjnych bywa, że różne równania dają różne kandydatury na \(a\), co oznacza, że dana para nie jest rozwiązaniem).

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \(a\) stoi przy \(x\) w pierwszym równaniu **i** przy prawej stronie drugiego równania (\(2a\)). To nieoczywiste - łatwo przeoczyć, że drugie równanie też zawiera \(a\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl "para \((x, y)\) jest rozwiązaniem układu" z "wyznacz \(x\) i \(y\)". Tu \(x\) i \(y\) są dane - szukamy parametru \(a\). To klasyczna zamiana ról!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Podstawienie \((2, 2)\) do obu równań
Z pierwszego: \(2a + 2 = 4 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1\).
Z drugiego: \(-4 + 6 = 2a \Rightarrow 2 = 2a \Rightarrow a = 1\).
Oba równania dają \(a = 1\) - spójne.

### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
- \(a=1\): I: \(2+2=4\) ✓, II: \(-4+6=2\) ✓
- \(a=-1\): I: \(-2+2=0\ne 4\) ✗
- \(a=-2\): I: \(-4+2=-2\ne 4\) ✗
- \(a=2\): I: \(4+2=6\ne 4\) ✗

Tylko **B** spełnia oba równania.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
Każde inne \(a\) nie spełnia co najmniej jednego z równań.

**Technika:** najszybszy sposób - podstawić i sprawdzić.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Metoda podstawiania

1. **Wyznaczmy 'y' z pierwszego równania:**
\[ax + y = 4 \implies y = 4 - ax\]
2. **Podstawmy 'y' do drugiego równania:**
\[-2x + 3(4 - ax) = 2a\]
\[-2x + 12 - 3ax = 2a\]
3. **Przekształćmy równanie:**
\[(-2 - 3a)x = 2a - 12\]
\[x = \frac{2a - 12}{-2 - 3a}\]
4. **Podstawmy x = 2 i y = 2 do równania, aby sprawdzić, czy jest to rozwiązanie:**
\[a(2) + 2 = 4 \implies 2a + 2 = 4 \implies 2a = 2 \implies a = 1\]
\[-2(2) + 3(2) = 2a \implies -4 + 6 = 2a \implies 2 = 2a \implies a = 1\]
Zatem, dla \(a = 1\) układ równań jest spełniony.

📖 Karta wzorów: s.7, strona 2

### Sposób 2: Metoda eliminacji

1. **Pomnóż pierwsze równanie przez 3:**
\[3ax + 3y = 12\]
2. **Dodaj drugie równanie do otrzymanego:**
\[(3ax + 3y) + (-2x + 3y) = 12 + 2a\]
\[(3a - 2)x + 6y = 12 + 2a\]
3. **Zauważmy, że chcemy, aby 'y' zostało wyeliminowane. Zatem, spróbujmy wyznaczyć 'y' z pierwszego równania:**
\[y = 4 - ax\]
4. **Podstawmy 'y' do drugiego równania:**
\[-2x + 3(4 - ax) = 2a\]
\[-2x + 12 - 3ax = 2a\]
\[(-2 - 3a)x = 2a - 12\]
\[x = \frac{2a - 12}{-2 - 3a}\]
5. **Podstawmy x = 2 i y = 2 do równania, aby sprawdzić, czy jest to rozwiązanie:**
\[a(2) + 2 = 4 \implies 2a + 2 = 4 \implies 2a = 2 \implies a = 1\]
\[-2(2) + 3(2) = 2a \implies -4 + 6 = 2a \implies 2 = 2a \implies a = 1\]
Zatem, dla \(a = 1\) układ równań jest spełniony.

📖 Karta wzorów: s.7, strona 2

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. \(a = -1\):** Podstawiając \(a = -1\) do równań, otrzymujemy:
* \(-x + y = 4\)
* \(2x - 3y = -2\)
Rozwiązanie tego układu to \(x = 2\) i \(y = 0\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \(x = 2\) i \(y = 2\).
* **C. \(a = -2\):** Podstawiając \(a = -2\) do równań, otrzymujemy:
* \(-2x + y = 4\)
* \(2x - 3y = -4\)
Rozwiązanie tego układu to \(x = 1\) i \(y = 2\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \(x = 2\) i \(y = 2\).
* **D. \(a = 2\):** Podstawiając \(a = 2\) do równań, otrzymujemy:
* \(2x + y = 4\)
* \(-2x + 3y = 4\)
Rozwiązanie tego układu to \(x = 0\) i \(y = 4\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \(x = 2\) i \(y = 2\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi % 60 liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Suma dwóch liczb jest równa 7 , a ich różnica 3 . Oblicz iloczyn tych liczb. Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Poziom podstawowy 5
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2018-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/20) — Zadanie 20. (0-3) W wyborach na przewodniczącego klasy kandydowało troje uczniów: Jacek, Helena i Grzegorz. Każdy uczeń tej klasy oddał jeden ważny głos. Jacek 
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więce

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_