# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 6. (0-1)
Równanie
A. ma trzy różne rozwiązania:
1,
3,
2.
x
x
x
B. ma trzy różne rozwiązania:
1,
3,
2.
x
x
x
C. ma dwa różne rozwiązania:
1,
2.
x
x
D. ma dwa różne rozwiązania:
1,
2.
x
x
2
1
2
1
1
1
1
4
5
a
11
20
a
8
9
a
9
8
a
20
11
a
2
x =
2
y =
1
a = -
1
a =
2
a = -
2
a =
(
)(
)
1
2
0
3
x
x
x

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
x
y
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
0
-1
-2
1
3
4
Równanie (x-1)(x+2) / x-3 = 0 A. ma trzy różne rozwiązania: x=1, x=3, x=-2. B. ma trzy różne rozwiązania: x=-1, x=-3, x=2. C. ma dwa różne rozwiązania: x=1, x=-2. D. ma dwa różne rozwiązanie: x=-1, x=2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

Dwa różne rozwiązania: \(x = 1\) oraz \(x = -2\).

## Sposób 1 - Definicja ułamka równego zero

Ułamek \(\dfrac{L}{M} = 0\) wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0 i mianownik ≠ 0**.

**Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę** (mianownik ≠ 0):
\[x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3\]

**Krok 2: Przyrównujemy licznik do zera:**
\[(x-1)(x+2) = 0\]

Iloczyn równa się zero, gdy jeden z czynników = 0:
\[x - 1 = 0 \quad \text{lub} \quad x + 2 = 0\]
\[x = 1 \quad \text{lub} \quad x = -2\]

**Krok 3: Sprawdzamy dziedzinę:**
- \(x = 1\): czy \(1 \neq 3\)? ✓ - należy do dziedziny
- \(x = -2\): czy \(-2 \neq 3\)? ✓ - należy do dziedziny

**Wynik: równanie ma dwa rozwiązania: \(x = 1\) i \(x = -2\).**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy oba wyniki, wstawiając do oryginalnego równania:

Dla \(x = 1\):
\[\frac{(1-1)(1+2)}{1-3} = \frac{0 \cdot 3}{-2} = \frac{0}{-2} = 0 \checkmark\]

Dla \(x = -2\):
\[\frac{(-2-1)(-2+2)}{-2-3} = \frac{(-3) \cdot 0}{-5} = \frac{0}{-5} = 0 \checkmark\]

Dla \(x = 3\) (sprawdzamy, czy to rozwiązanie):
\[\frac{(3-1)(3+2)}{3-3} = \frac{2 \cdot 5}{0} = \frac{10}{0} \quad \text{- NIEZDEFINIOWANE!}\]

\(x = 3\) **nie jest rozwiązaniem** - mianownik zeruje się, wyrażenie nie istnieje.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka równego zero i znajomość dziedziny wyrażenia wymiernego.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń błędnie traktuje mianownik na równi z licznikiem i uznaje \(x = 3\) za rozwiązanie (bo \(x - 3 = 0\)). Tymczasem \(x = 3\) **wyklucza** się z dziedziny - powoduje dzielenie przez zero. |
| B | Uczeń rozwiązuje \(-(x-1) = 0\), \(-(x+2) = 0\), \(-(x-3) = 0\), czyli zmienia znaki wszystkich - zupełnie błędna operacja. |
| D | Uczeń poprawnie zauważa, że szukamy pierwiastków licznika, ale myli znaki: zamiast \(x = 1\) i \(x = -2\) zapisuje \(x = -1\) i \(x = 2\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(x = 3\) to **nie** rozwiązanie - to wartość wykluczona z dziedziny! Mianownik zeruje się → ułamek nie istnieje. Bardzo częsty błąd: "skoro \(x - 3\) jest w mianowniku, to \(x = 3\) też jest rozwiązaniem".

> ⚠️ **Uwaga:** Zasada działa tylko w jedną stronę - przyrównujemy licznik do zera, **nie** mianownik. Warunek \(\frac{A}{B} = 0\) to \(A = 0\) i \(B \neq 0\), a nie \(A = 0\) lub \(B = 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj dziedzinę **przed** podaniem odpowiedzi - gdyby któryś z pierwiastków licznika pokrywał się z wartością zerującą mianownik (tu \(x = 3\)), należałoby go odrzucić.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Dziedzina + licznik = 0
**Dziedzina:** \(x - 3 \ne 0 \iff x \ne 3\).

Równanie \(\tfrac{L}{M} = 0 \iff L = 0\) (przy \(M \ne 0\)):
\[(x-1)(x+2) = 0 \iff x = 1 \lor x = -2.\]
Oba w dziedzinie → **dwa rozwiązania**.

### Sposób 2 - Sprawdzenie punktów
- \(x = 1\): \(\tfrac{0\cdot 3}{-2} = 0\) ✓
- \(x = -2\): \(\tfrac{-3\cdot 0}{-5} = 0\) ✓
- \(x = 3\): mianownik = 0, dzielenie przez zero - niedopuszczalne.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Uwzględniono \(x = 3\), które łamie dziedzinę.
- **B, D.** Złe znaki pierwiastków.

**Pamiętaj:** ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 **i** mianownik \(\ne 0\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Rozkład na czynniki
Rozważmy równanie: (x - 1)(x + 2) = 0. Aby to równanie było spełnione, jeden z nawiasów musi być równy zero. Zatem:

* x - 1 = 0 => x = 1
* x + 2 = 0 => x = -2

Zatem równanie ma dwa różne rozwiązania: x = 1 i x = -2.

📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6

### Sposób 2: Rozwinięcie i porównanie z danym równaniem
Rozwińmy lewą stronę równania:
(x - 1)(x + 2) = x² + 2x - x - 2 = x² + x - 2

Porównujemy to z danym równaniem: x² + x - 2 = 0. Zauważamy, że równania są identyczne. Zatem rozwiązania tego równania to x = 1 i x = -2.

📖 Karta wzorów: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. \(ma trzy różne rozwiązania: x = 1, x = 3, x = -2.\)** Jest to błędne, ponieważ równanie (x - 1)(x + 2) = 0 ma tylko dwa rozwiązania, a nie trzy.
* **B. \(ma trzy różne rozwiązania: x = -1, x = -3, x = 2.\)** Jest to błędne, ponieważ nie rozłożyłem równania na czynniki, a nawet jeśli bym to zrobił, to rozwiązanie x = 3 nie pasuje do równania.
* **D. \(ma dwa różne rozwiązania: x = -1, x = 2.\)** Jest to błędne, ponieważ rozwiązanie x=1 nie jest uwzględnione.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_