# Matematyka — zadanie 7

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/7
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f ( x ) = 3( x +1) - 6 3 jest liczba Informacja do zadań 8.-10.

/matma-quiz/images/cke/2019-Matematyka-PP/z7.png

przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, - 4) . Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f . y 4 3 1 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 . W

A. \(3 - 6\sqrt{3}\)
B. \(1 - 6\sqrt{3}\)
C. \(2\sqrt{3} - 1\)
D. \(2\sqrt{3} - \dfrac{1}{3}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(2\sqrt{3} - 1\)

## Sposób 1 - Rozwiązanie równania f(x) = 0

Miejsce zerowe funkcji to wartość \(x\), dla której \(f(x) = 0\). Przyrównujemy wzór funkcji do zera:

\[3(x+1) - 6\sqrt{3} = 0\]

Rozwijamy nawias (rozdzielamy mnożenie):
\[3x + 3 - 6\sqrt{3} = 0\]

Przenosimy stałe na prawą stronę:
\[3x = 6\sqrt{3} - 3\]

Dzielimy obie strony przez 3:
\[x = \frac{6\sqrt{3} - 3}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} - \frac{3}{3}\]

\[\boxed{x = 2\sqrt{3} - 1}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, czy \(x = 2\sqrt{3} - 1\) rzeczywiście zeruje funkcję:

\[f(2\sqrt{3} - 1) = 3\bigl((2\sqrt{3} - 1) + 1\bigr) - 6\sqrt{3}\]

\[= 3 \cdot 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3}\]

\[= 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 0 \checkmark\]

Wynik się zgadza - to na pewno miejsce zerowe.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (f(x) = 0) i podstawowe działania algebraiczne (rozwijanie nawiasów, dzielenie przez liczbę).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \(3 - 6\sqrt{3}\) | Uczeń oblicza **wartość funkcji w x = 0**, czyli f(0) = 3(0+1) - 6√3 = 3 - 6√3, zamiast **rozwiązywać** równanie f(x) = 0 |
| B - \(1 - 6\sqrt{3}\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: 3x = 3 - 6√3 (zamiast 6√3 - 3), co daje x = 1 - 2√3; lub mylenie kolejności odejmowania |
| D - \(2\sqrt{3} - \dfrac{1}{3}\) | Błędne rozwinięcie nawiasu: uczeń pisze \(3(x+1) = 3x + 1\) zamiast \(3x + 3\), co prowadzi do \(3x = 6\sqrt{3} - 1\) i \(x = \frac{6\sqrt{3}-1}{3} = 2\sqrt{3} - \frac{1}{3}\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to **x**, dla którego f(x) = 0 - trzeba **rozwiązać równanie**, a nie obliczać f(0). To najczęstszy błąd!

> ⚠️ **Uwaga:** Rozwijając nawias \(3(x+1)\), mnoż **każdy** składnik przez 3: dostajemy \(3x + 3\), nie \(3x + 1\). Błąd o jeden składnik tutaj zmienia całkowicie wynik.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \(\frac{6\sqrt{3} - 3}{3}\) dziel **oba** składniki osobno: \(\frac{6\sqrt{3}}{3} - \frac{3}{3} = 2\sqrt{3} - 1\). Nie wolno dzielić tylko jednego członu.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Rozwiązanie równania \(f(x) = 0\)
\[3(x+1) - 6\sqrt{3} = 0\]
\[3x + 3 = 6\sqrt{3}\]
\[3x = 6\sqrt{3} - 3\]
\[x = 2\sqrt{3} - 1.\]

### Sposób 2 - Postać ogólna \(ax + b\)
Po rozwinięciu: \(f(x) = 3x + 3 - 6\sqrt{3}\). Miejsce zerowe:
\[x = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3 - 6\sqrt{3}}{3} = -1 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 1.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(3 - 6\sqrt{3}\)** - nie podzielono przez 3.
- **B. \(1 - 6\sqrt{3}\)** - nie podzielono \(6\sqrt{3}\) przez 3.
- **D. \(2\sqrt{3} - \tfrac{1}{3}\)** - błąd przy dzieleniu wyrazu wolnego.

**Sprawdzenie:** \(f(2\sqrt{3}-1) = 3(2\sqrt{3}-1+1) - 6\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 0\) ✓.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Rozwiązanie równania kwadratowego

1. **Przekształcenie wzoru:** Zadanie podaje wzór funkcji liniowej: f(x) = 3(x + 1) - 6. Celem jest znalezienie pierwiastków równania f(x) = 0. Zatem, musimy rozwiązać równanie:
3(x + 1) - 6 = 0

2. **Rozwiązanie równania:**
* Rozwinięcie nawiasu: 3x + 3 - 6 = 0
* Uproszczenie: 3x - 3 = 0
* Przeniesienie -3 na lewą stronę: 3x = 3
* Podzielenie obu stron przez 3: x = 1

3. **Wniosek:** Pierwszy pierwiastek funkcji f(x) to x = 1. Zatem, odpowiedź to 2√3 - 1. Wzór na pierwiastki równania kwadratowego: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. W tym przypadku a=3, b=3, c=-6. Zatem x = (-3 ± √(3² - 4*3*(-6))) / 2*3 = (-3 ± √(9 + 72)) / 6 = (-3 ± √81) / 6 = (-3 ± 9) / 6. Dwa pierwiastki to x₁ = (-3 + 9) / 6 = 6 / 6 = 1 i x₂ = (-3 - 9) / 6 = -12 / 6 = -2. Zatem, 2√3 - 1 to nie jest pierwiastek, a jedynie jeden z pierwiastków.

📖 Karta wzorów: **s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)**, strona 7

### Sposób 2: Interpretacja rysunku i wzoru funkcji

1. **Analiza rysunku:** Rysunek przedstawia fragment paraboli. Wierzchołek paraboli W = (2, -4) jest punktem przecięcia paraboli z osią x. Ponadto, zadanie mówi, że 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji. Z rysunku widać, że funkcja przecina oś x w punkcie x = 4.

2. **Wzór funkcji:** Wzór funkcji to f(x) = 3(x + 1) - 6. Zatem, jeśli x = 4, to f(4) = 3(4 + 1) - 6 = 3(5) - 6 = 15 - 6 = 9. To nie jest zero, więc 4 nie jest pierwiastkiem. Jednakże, zadanie mówi, że 4 to miejsce zerowe. To oznacza, że wzór funkcji jest błędny. Prawidłowy wzór to f(x) = 3(x-4) - 6, ponieważ wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (4, -6).

3. **Znalezienie pierwiastka:** Zatem, f(x) = 3(x + 1) - 6 = 0 => 3x + 3 - 6 = 0 => 3x - 3 = 0 => x = 1. Zatem, 2√3 - 1 to nie jest pierwiastek, a jedynie jeden z pierwiastków.

📖 Karta wzorów: **s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)**, strona 7

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. 3 - 6√3:** To wartość f(x) dla x = 3 - 6√3. Nie jest to miejsce zerowe funkcji.
* **B. 1 - 6√3:** To wartość f(x) dla x = 1 - 6√3. Nie jest to miejsce zerowe funkcji.
* **D. 2√3 - 1/3:** To wartość f(x) dla x = 2√3 - 1/3. Nie jest to miejsce zerowe funkcji.

Wszystkie pozostałe odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają warunku f(x) = 0. Poprawną odpowiedzią jest 2√3 - 1.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/7)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F7)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (5 pkt) Funkcja f określona jest wzorem 2 3 dla 2 ( ) 1 dla 2 4 x x f x x < ⎧ = ⎨ ≤ ≤ ⎩ a) Uzupełnij tabelę: x 3 3 ( ) f x 0 b) Narysuj wykres funkcj
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (5 pkt) Dana jest funkcja 5 6 ) ( 2 x x x f a) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości. b) Podaj rozwiązanie nierówności 0 ) ( ≥ x f 0 
- [Zadanie 32.1](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/32.1) — Zadanie 32.1. (0-1) Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością d
- [Zadanie 10.2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/10.2) — Zadanie 10.2. (0-1) Wyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności: 𝒇(𝒙) ≤𝟎

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_