# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje, równania i nierówności

## Treść

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

A. \((-\infty, 0\rangle\)
B. \(\langle 0, 4\rangle\)
C. \(\langle-4, +\infty)\)
D. \(\langle 4, +\infty)\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(\langle -4, +\infty)\)

## Sposób 1 - Postać kanoniczna i zbiór wartości

Znamy wierzchołek paraboli: \(W = (2, -4)\), więc korzystamy wprost z postaci kanonicznej:
\[f(x) = a(x - 2)^2 - 4\]

**Wyznaczamy \(a\)** - używamy miejsca zerowego \(x = 0\):
\[f(0) = 0 \implies a(0 - 2)^2 - 4 = 0\]
\[4a - 4 = 0 \implies a = 1\]

Sprawdzamy z drugim miejscem zerowym \(x = 4\):
\[f(4) = 1 \cdot (4 - 2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \checkmark\]

Zatem funkcja to:
\[f(x) = (x - 2)^2 - 4\]

**Odczyt zbioru wartości:** Ponieważ \(a = 1 > 0\), parabola jest skierowana ramionami **w górę**. Wierzchołek \(W = (2, -4)\) to **minimum** funkcji.

Wartość minimalna wynosi \(-4\), a funkcja rośnie do \(+\infty\), więc:
\[\mathbf{ZW = \langle -4, +\infty)}\]

## Sposób 2 - Odczyt z postaci iloczynowej

Mamy miejsca zerowe \(x_1 = 0\) i \(x_2 = 4\), więc postać iloczynowa:
\[f(x) = a(x - 0)(x - 4) = ax(x-4)\]

Wierzchołek paraboli leży na osi symetrii w połowie między miejscami zerowymi:
\[p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2 \checkmark\]

Wyznaczamy \(a\) z warunku \(f(2) = -4\) (wartość w wierzchołku):
\[f(2) = a \cdot 2 \cdot (2 - 4) = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4a = -4 \implies a = 1\]

Ponieważ \(a = 1 > 0\) - ramiona paraboli skierowane w górę - funkcja osiąga **minimum** w wierzchołku:
\[\min f = -4\]

Zbiór wartości:
\[\mathbf{ZW = \langle -4, +\infty)}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:
\[f(x) = a(x - p)^2 + q\]
gdzie \((p, q)\) to wierzchołek paraboli. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.

**Dział 7 (s. 8)** - wierzchołek i minimum/maksimum:
- Jeśli \(a > 0\): parabola skierowana w górę, wartość minimalna \(= q\), **zbiór wartości \(= \langle q, +\infty)\)**
- Jeśli \(a < 0\): parabola skierowana w dół, wartość maksymalna \(= q\), **zbiór wartości \(= (-\infty, q\rangle\)**

To jest kluczowa reguła w tym zadaniu.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | \((-\infty, 0\rangle\) - uczeń myli zbiór wartości z dziedziną lub patrzy na \(x\)-owe miejsca zerowe; ta odpowiedź byłaby dobra gdyby parabola była zwrócona ramionami **w dół** z maksimum w \(q = 0\) |
| B | \(\langle 0, 4\rangle\) - uczeń bierze przedział między miejscami zerowymi jako zbiór wartości; to jest fragment dziedziny, nie wartości |
| D | \(\langle 4, +\infty)\) - uczeń wziął \(4\) (drugie miejsce zerowe) zamiast \(-4\) (wartość w wierzchołku) jako dolne ograniczenie |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości zależy od **wartości \(y\) w wierzchołku** (\(q = -4\)), nie od współrzędnej \(x\) wierzchołka (\(p = 2\)) - to dwie różne liczby!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl miejsca zerowego \(x = 4\) z wartością minimalną \(f = -4\). Obydwie liczby "4" pojawiają się w tym zadaniu, ale w zupełnie innych rolach.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw sprawdź **znak współczynnika \(a\)**. Tu \(a > 0\) → ramiona w górę → minimum → zbiór wartości jest przedziałem zamkniętym od dołu \(\langle q, +\infty)\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Analiza paraboli
Parabola ma wierzchołek \(W = (2, -4)\), miejsca zerowe \(0\) i \(4\). Skoro miejsca zerowe są po obu stronach wierzchołka, a w wierzchołku \(y = -4 < 0\), parabola ma ramiona **w górę** (\(a > 0\)).

Zatem \(y = -4\) to **minimum**, a zbiór wartości to \(\langle-4, +\infty)\).

### Sposób 2 - Postać iloczynowa + kanoniczna
\(f(x) = a(x-0)(x-4)\). Z \(W=(2,-4)\): \(-4 = a\cdot 2\cdot(-2) = -4a\), więc \(a = 1\).
\(f(x) = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4\). Minimum \(= -4\), ramiona w górę → zbiór wartości \(\langle-4, +\infty)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \((-\infty, 0\rangle\)** - pomyłka z miejscem zerowym.
- **B. \(\langle 0, 4\rangle\)** - to miejsca zerowe, nie zbiór wartości.
- **D. \(\langle 4, +\infty)\)** - pomyłka: \(4\) to miejsce zerowe, a minimum to \(-4\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Analiza funkcji i jej dziedziny

Funkcja f ma zbiór wartości \([-4, +\infty)\). Oznacza to, że najmniejsza wartość, jaką może przyjmować funkcja, to -4, a wartość ta jest osiągana dla wszystkich argumentów. Ponieważ zbiór wartości jest przedziałem otwartym, a nie zamkniętym, to wartość -4 jest graniczną, a nie elementem zbiory wartości. Zatem, zbiór wartości to wszystkie liczby większe lub równe -4.

[
\(f: \mathbb{R} \to [-4, +\infty)\)
]

📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 13

### Sposób 2: Wykorzystanie definicji zbioru wartości

Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja może przyjmować. W tym przypadku, zbiór wartości to przedział od -4 do nieskończoności. Zbiór wartości funkcji jest zbiorem wszystkich y, dla których istnieje x w dziedzinie funkcji, takie że f(x) = y. Ponieważ f(x) może być dowolnie duży, to zbiór wartości to przedział od -4 do +\infty.

[
\(f(x) \ge -4\) dla wszystkich x w dziedzinie
]

📖 Karta wzorów: Silnia, strona 6

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. \((-\infty, 0\)**: Zbiór wartości nie może być przedziałem otwartym od -\(\infty\) do 0, ponieważ funkcja może przyjmować wartości mniejsze niż 0, a zbiór wartości musi zawierać wszystkie takie wartości.
* **B. 0, 4**: To są konkretne liczby, a zbiór wartości funkcji musi zawierać przedział, a nie tylko pojedyncze wartości.
* **D. \(4, + \infty\)**: Podobnie jak w przypadku B, to są konkretne liczby, a zbiór wartości musi być przedziałem. Ponadto, zbiór wartości nie może zaczynać się od 4, ponieważ funkcja może przyjmować wartości mniejsze niż 4.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (5 pkt) Funkcja f określona jest wzorem 2 3 dla 2 ( ) 1 dla 2 4 x x f x x < ⎧ = ⎨ ≤ ≤ ⎩ a) Uzupełnij tabelę: x 3 3 ( ) f x 0 b) Narysuj wykres funkcj
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (5 pkt) Dana jest funkcja 5 6 ) ( 2 x x x f a) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości. b) Podaj rozwiązanie nierówności 0 ) ( ≥ x f 0 
- [Zadanie 32.1](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/32.1) — Zadanie 32.1. (0-1) Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością d
- [Zadanie 10.2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/10.2) — Zadanie 10.2. (0-1) Wyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności: 𝒇(𝒙) ≤𝟎

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_