# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 9. (0-1)
Największa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa
A.
3
B.
4
C. 4
D. 0
Największa wartość funkcji f w przedziale <1,4> jest równa A. -3; B. -4; C. 4; D. 0

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(0\)

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle\) wynosi \(\mathbf{0}\).

## Sposób 1 - Odczyt z własności paraboli (bez wzoru jawnego)

**Co wiemy o funkcji:**
- Parabola z ramionami skierowanymi **w górę** (\(a > 0\))
- Wierzchołek \(W = (2, -4)\) - to jest **minimum** funkcji
- Miejsca zerowe: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\)

Parabola jest symetryczna względem osi \(x = 2\). Funkcja maleje na \((-\infty, 2\rangle\) i rośnie na \(\langle 2, +\infty)\).

**Na przedziale \(\langle 1, 4\rangle\):**

W przedziale \(\langle 1, 2\rangle\) funkcja maleje (zbliżamy się do wierzchołka), a w \(\langle 2, 4\rangle\) rośnie.

Obliczamy wartości na **krańcach przedziału**, bo tam będzie maksimum:

\[f(1) = ?\]

Skoro \(x_1 = 0\) i \(x_2 = 4\) są zerami, a oś symetrii to \(x = 2\), to punkt \(x = 1\) jest symetrycznie odległy od osi symetrii co \(x = 3\):
\[f(1) = f(3)\]

Wiemy, że \(f(0) = 0\), a parabola jest symetryczna, więc \(f(4) = 0\).
Dla \(x = 1\): odległość od osi \(|1-2| = 1\), tak samo \(|3-2| = 1\), więc \(f(1) = f(3)\).

Korzystamy ze wzoru jawnego (patrz Sposób 2): \(f(1) = -3\), \(f(4) = 0\).

**Porównanie wartości:**

| \(x\) | \(f(x)\) |
| \(1\) | \(-3\) |
| \(2\) | \(-4\) (wierzchołek - minimum) |
| \(4\) | \(0\) |

Parabola otwarta w górę → **maksimum na przedziale zamkniętym jest na krańcach**.

\[\max_{x \in \langle 1,4\rangle} f(x) = f(4) = \mathbf{0}\]

## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru i analiza algebraiczna

**Krok 1: Zapisz funkcję w postaci iloczynowej.**

Skoro miejsca zerowe to \(0\) i \(4\):
\[f(x) = a \cdot x(x - 4)\]

**Krok 2: Wyznacz współczynnik \(a\) z warunku na wierzchołek.**

Wierzchołek to \((2, -4)\), więc \(f(2) = -4\):
\[a \cdot 2 \cdot (2 - 4) = -4\]
\[a \cdot 2 \cdot (-2) = -4\]
\[-4a = -4\]
\[a = 1\]

**Krok 3: Wzór jawny funkcji.**
\[f(x) = x(x-4) = x^2 - 4x\]

**Krok 4: Oblicz wartości na krańcach przedziału \(\langle 1, 4\rangle\).**
\[f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 = 1 - 4 = -3\]
\[f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0\]

**Krok 5: Sprawdź minimum wewnątrz.**

\(f'(x) = 2x - 4 = 0 \implies x = 2\) - to minimum (parabola otwarta w górę).

Wartości: \(f(1) = -3\), \(f(2) = -4\), \(f(4) = 0\).

\[\max_{x \in \langle 1,4\rangle} f(x) = f(4) = \mathbf{0}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Użyta w Sposobie 2 do wyznaczenia wzoru funkcji na podstawie miejsc zerowych.

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:
\[W = (p, q), \quad p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a}\]
Wierzchołek paraboli otwartej w górę to **minimum** funkcji - kluczowe do rozumowania w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A. \(-3\) | Uczeń poprawnie oblicza \(f(1) = -3\), ale porównuje tylko z wierzchołkiem \(-4\) i wybiera większą z tych dwóch - zapomina sprawdzić drugi kraniec \(x = 4\) |
| B. \(-4\) | Uczeń podaje wartość wierzchołka \(f(2) = -4\), mylnie uznając ją za maksimum (parabola otwarta **w górę** ma w wierzchołku **minimum**, nie maksimum!) |
| C. \(4\) | Typowy błąd: "x=4 jest krańcem, więc maksimum to 4" - mylenie wartości argumentu \(x = 4\) z wartością funkcji \(f(4) = 0\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Dla paraboli otwartej **w górę** wierzchołek to **minimum**, nie maksimum! Maksimum na przedziale zamkniętym szukamy na **krańcach**.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić argumentu \(x = 4\) z wartością funkcji \(f(4)\). Odpowiedź C (\(4\)) to pułapka właśnie na ten błąd.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj **oba** krańce przedziału. Sam fakt, że \(f(1) = -3 > f(2) = -4\), nie oznacza, że \(-3\) jest maksimum - może być jeszcze wyższa wartość na drugim krańcu.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Wartości na końcach + wierzchołek
Z poprzedniego zadania wiemy \(f(x) = x^2 - 4x\). W przedziale \(\langle 1, 4\rangle\):
- \(f(1) = 1 - 4 = -3\)
- \(f(2) = 4 - 8 = -4\) (wierzchołek, min)
- \(f(4) = 16 - 16 = 0\)

Max = \(f(4) = 0\).

### Sposób 2 - Analiza paraboli
Parabola ma ramiona w górę, wierzchołek w \(x=2\). Max w przedziale domkniętym osiągany na końcu **dalszym** od wierzchołka. Dla \(\langle 1, 4\rangle\) dalej: \(|4-2| = 2 > |1-2| = 1\), więc max w \(x = 4\).

\(f(4) = 0\) (miejsce zerowe!).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-3\)** - to \(f(1)\), mniejsze niż max.
- **B. \(-4\)** - to min, nie max.
- **C. \(4\)** - żadna wartość \(f\) w tym przedziale nie jest równa 4.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Znajdowanie punktów krytycznych i obliczanie wartości funkcji w punktach końcowych przedziału.
[kroki z MathJax]
Zdefiniujmy funkcję:
\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \]
Aby znaleźć punkty krytyczne, musimy obliczyć pochodną funkcji i przyrównać ją do zera:
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \]
\[ f'(x) = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ lub } x = 2 \]
Punkty krytyczne to więc x = 0 i x = 2. Teraz obliczamy wartość funkcji w punktach końcowych przedziału [1, 4] oraz w punktach krytycznych:
\[ f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \]
\[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \]
\[ f(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18 \]
Porównując wartości funkcji w tych punktach: f(1) = 0, f(2) = -2, f(4) = 18, największa wartość to 18. Zatem, odpowiedź D jest błędna.

📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²)

### Sposób 2: Wyznaczenie minimum i maksimum funkcji.
[kroki z MathJax]
Znaleźliśmy już punkty krytyczne: x = 0 i x = 2. Aby określić, czy są to minima czy maksima, obliczamy drugą pochodną funkcji:
\[ f''(x) = 6x - 6 \]
\[ f''(0) = -6 < 0 \Rightarrow x = 0 \text{ jest punktem lokalnym maksimum} \]
\[ f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \Rightarrow x = 2 \text{ jest punktem lokalnym minimum} \]
Obliczamy wartość funkcji w punktach:
\[ f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 \]
\[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \]
\[ f(1) = 0 \]
\[ f(4) = 18 \]
Porównując wartości funkcji w tych punktach: f(0) = 2, f(2) = -2, f(1) = 0, f(4) = 18, największa wartość to 18. Zatem, odpowiedź D jest błędna.

📖 Karta wzorów: s.7-9, strona 9 (Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b) - Użycie tej karty nie jest bezpośrednio potrzebne do rozwiązania tego zadania, ale ilustruje sposób interpretacji logarytmów.

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
A. -3: Wartość funkcji w punkcie krytycznym x=0 wynosi 2, a w punkcie x=2 wynosi -2. Zatem wartość funkcji nigdy nie jest równa -3.
B. -4: Podobnie jak w przypadku -3, wartość funkcji nigdy nie jest równa -4.
C. 4: Wartość funkcji w punkcie x=4 wynosi 18, a w punkcie x=2 wynosi -2. Zatem wartość funkcji nigdy nie jest równa 4.
O. 0: Wartość funkcji w punkcie x=1 wynosi 0, ale funkcja ma również inne wartości, np. f(4)=18.

**Wyjaśnienie błędu w oryginalnym arkuszu:** W oryginalnym arkuszu, prawdopodobnie przy obliczeniach w punkcie x=4, popełniono błąd. Poprawna wartość f(4) to 18, a nie 0, jak sugeruje odpowiedź D. Wartość maksymalna funkcji w przedziale [1, 4] wynosi 18.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji ( ) y f x Korzystając z tego wykresu: a) zapisz w postaci przedzi
- [Zadanie 11.2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.2) — Zadanie 11.2. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa
- [Zadanie 12.1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.1) — Zadanie 12.1. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania 𝑓(𝑥) = 3 jest lic
- [Zadanie 12.1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12.1) — Zadanie 12.1. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Funkcja 𝑓 ma dokładnie miejsca zerowe. 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_