# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Układy równań, geometria analityczna

## Treść

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ.

rysunek: układ współrzędnych z dwiema prostymi - jedna o dodatnim nachyleniu przechodząca przez \((-1, 0)\) i \((0, 1)\), druga o ujemnym nachyleniu przechodząca przez \((2, 0)\) i \((0, 4)\); proste przecinają się w punkcie \((1, 2)\)

Wskaż ten układ.

A. \(\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} y = x - 1 \\ y = 2x + 4 \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} y = x - 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} y = x + 1 \\ y = 2x + 4 \end{cases}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

\[\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases}\]

## Sposób 1 - Odczyt równań prostych z wykresu

Wyznaczamy równanie każdej prostej osobno, korzystając z danych punktów podanych w opisie rysunku.

**Prosta 1 (rosnąca, dodatnie nachylenie):**

Przechodzi przez punkty \((-1,\ 0)\) i \((0,\ 1)\).

Współczynnik kierunkowy:
\[a_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 0}{0 - (-1)} = \frac{1}{1} = 1\]

Punkt \((0, 1)\) to przecięcie z osią \(OY\), więc \(b_1 = 1\).

\[\boxed{y = x + 1}\]

**Prosta 2 (malejąca, ujemne nachylenie):**

Przechodzi przez punkty \((2,\ 0)\) i \((0,\ 4)\).

Współczynnik kierunkowy:
\[a_2 = \frac{4 - 0}{0 - 2} = \frac{4}{-2} = -2\]

Punkt \((0, 4)\) to przecięcie z osią \(OY\), więc \(b_2 = 4\).

\[\boxed{y = -2x + 4}\]

**Wynik:** Układ to \(\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases}\) - odpowiedź **A**.

## Sposób 2 - Weryfikacja przez punkt przecięcia

Proste przecinają się w punkcie \((1, 2)\) - sprawdzamy, czy obie równania z odpowiedzi A są spełnione dla \(x = 1,\ y = 2\).

**Równanie 1:** \(y = x + 1\)
\[2 = 1 + 1 = 2 \quad \checkmark\]

**Równanie 2:** \(y = -2x + 4\)
\[2 = -2 \cdot 1 + 4 = -2 + 4 = 2 \quad \checkmark\]

Oba równania są spełnione - punkt \((1, 2)\) należy do obu prostych. To potwierdza, że odpowiedź A jest prawidłowa.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:
\[y = ax + b, \quad \text{gdzie } a = \operatorname{tg}\alpha\]

Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty:
\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia nachylenia obu prostych z podanych punktów.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | Prosta \(y = x - 1\) przecina oś \(OX\) w punkcie \((1, 0)\), nie w \((-1, 0)\); prosta \(y = 2x + 4\) ma **dodatnie** nachylenie - niezgodne z rysunkiem (druga prosta jest malejąca) |
| C | Prosta \(y = x - 1\) przecina oś \(OX\) w \((1, 0)\) zamiast \((-1, 0)\) - przesunięcie wyrazu wolnego o \(-2\); nachylenie drugiej prostej zgadza się, ale punkt przecięcia z \(OY\) byłby inny |
| D | Obie proste mają **dodatnie** nachylenia (\(+1\) i \(+2\)) - układ dwóch rosnących prostych. Tymczasem na rysunku jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \(b\) to **punkt przecięcia z osią \(OY\)**, nie z osią \(OX\)! Łatwo pomylić: prosta przez \((-1, 0)\) daje \(b = 1\), nie \(b = -1\).

> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy \(a\) obliczamy jako \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\), a nie \(\frac{\Delta x}{\Delta y}\) - odwrócenie ułamka to częsty błąd przy obliczaniu nachylenia.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyborze odpowiedzi warto sprawdzić **oba** równania jednocześnie - sama zgodność jednej prostej nie wystarczy, żeby wykluczyć błędne opcje (np. C ma poprawne nachylenie drugiej prostej, ale zły wyraz wolny pierwszej).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Odczyt punktów z rysunku
Z wykresu widać, że:
- Prosta rosnąca (nachylenie dodatnie \(+1\)) przechodzi przez \((0, 1)\) i \((-1, 0)\): wzór \(y = x + 1\).
- Prosta malejąca (nachylenie ujemne \(-2\)) przechodzi przez \((0, 4)\) i \((2, 0)\): wzór \(y = -2x + 4\).

Punkt przecięcia: \(x + 1 = -2x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1, y = 2\) - zgodne z rysunkiem.

### Sposób 2 - Analiza współczynników
Prosta pierwsza: rośnie, więc \(a > 0\); przecina oś \(OY\) w \(1\), więc \(b = 1\). Zatem \(y = x + 1\).
Prosta druga: maleje, więc \(a < 0\); przecina oś \(OY\) w \(4\), więc \(b = 4\). Zatem \(y = -2x + 4\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B.** \(y = x - 1\) przecina \(OY\) w \(-1\), nie w \(1\) jak na rysunku.
- **C.** Pierwsze równanie \(y = x - 1\) - błędny wyraz wolny.
- **D.** Drugie równanie \(y = 2x + 4\) rośnie, a na rysunku prosta druga maleje.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-2408/zad/8) — Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A--D. Dokończ zdanie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-200-a-2405/zad/11) — Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A--D. Dokończ zdanie
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5) — Wskaż ten układ równań, którego interpretację przedstawiono na rysunku. /matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2305/z5.png przedstawiono interpretację geometryczną 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-emap-p0-100-2305/zad/5) — Wskaż ten układ równań, którego interpretację przedstawiono na rysunku. /matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2305/z5.png przedstawiono interpretację geometryczną 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_