# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Pierwiastki \(_^{x}_\) \(1^{ , }\) \(_^{x}_\) \(2^{ równania }\)[2(] x 2)( x 2) 0 spełniają warunek

A. \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -1\)
B. \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = 0\)
C. \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{4}\)
D. \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{2}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 0\]

## Sposób 1 - Bezpośrednie wyznaczenie pierwiastków

Równanie \(2(x+2)(x-2) = 0\) rozwiązujemy, korzystając z faktu, że iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**.

Czynnik \(2 \neq 0\), więc patrzymy na pozostałe:

\[x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -2\]
\[x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2\]

Teraz obliczamy sumę odwrotności:

\[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{-2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \mathbf{0}\]

**Odpowiedź: B**

## Sposób 2 - Wzory Viète'a

Rozwijamy wyrażenie, żeby zobaczyć trójmian kwadratowy:

\[2(x+2)(x-2) = 2(x^2 - 4) = 2x^2 - 8\]

Mamy więc równanie \(2x^2 - 8 = 0\), czyli \(ax^2 + bx + c = 0\) z:
\[a = 2, \quad b = 0, \quad c = -8\]

Ze wzorów Viète'a:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{2} = 0\]
\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-8}{2} = -4\]

Teraz sumę odwrotności wyrazimy przez sumy i iloczyny Viète'a (klasyczny trik!):

\[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{0}{-4} = \mathbf{0}\]

**Odpowiedź: B** - potwierdzone.

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]
Użyliśmy ich w Sposobie 2, żeby wyznaczyć sumę i iloczyn pierwiastków bez liczenia ich wprost.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń myli sumę odwrotności ze wzorem na \(-\frac{b}{c}\) zamiast \(\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}\), lub po prostu podstawia złe wartości |
| C | Uczeń liczy \(\frac{1}{x_1 \cdot x_2} = \frac{1}{-4}\) i gubi znak, lub myli operację |
| D | Uczeń liczy \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) - **zapomina, że jeden pierwiastek jest ujemny** (\(x_1 = -2\), nie \(+2\)) |

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastkami są \(-2\) i \(+2\) - jeden jest ujemny! Wiele osób pisze \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\) zapominając o znaku, co prowadzi do odpowiedzi D.

> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \(b = 0\) (brak wyrazu liniowego \(x\)) - to znaczy, że \(x_1 + x_2 = 0\), a wtedy suma odwrotności jest automatycznie zerem (o ile \(x_1 \cdot x_2 \neq 0\)).

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na sumę odwrotności to \(\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}\), a nie \(\dfrac{1}{x_1 + x_2}\) - to różne rzeczy!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Znajdujemy pierwiastki i liczymy
Z równania \(2(x+2)(x-2) = 0\) dostajemy \(x+2 = 0\) lub \(x-2 = 0\), czyli:
\[x_1 = -2, \quad x_2 = 2.\]

Obliczamy:
\[\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{-2} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0.\]

### Sposób 2 - Wzór z sumą i iloczynem
\(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}\).

Z wzorów Viete'a dla \(2x^2 - 8 = 0\): \(x_1 + x_2 = 0, x_1 x_2 = -4\). Zatem \(\tfrac{0}{-4} = 0\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-1\):** błąd rachunkowy - np. zastąpienie \(-\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\) przez \(-\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\).
- **C. \(\tfrac{1}{4}\):** błąd: ktoś zapisał \(\tfrac{1}{x_1 x_2} = \tfrac{1}{-4}\) i wziął moduł, lub policzył inaczej.
- **D. \(\tfrac{1}{2}\):** ktoś odrzucił jedno z ujemnych wyrazów.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_