# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Liczby 2, 1, 4[są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego ][(] \(_^{a}\) n ) , określonego dla liczb naturalnych n \(\geq\) 1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać

A. \(a_n = -3n + 5\)
B. \(a_n = n - 3\)
C. \(a_n = -n + 3\)
D. \(a_n = 3n - 5\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

\(a_n = -3n + 5\)

## Sposób 1 - wyznaczenie wzoru z definicji ciągu arytmetycznego

**Krok 1: Odczytaj pierwszy wyraz i różnicę.**

Z treści zadania mamy trzy pierwsze wyrazy: \(a_1 = 2\), \(a_2 = -1\), \(a_3 = -4\).

Różnica ciągu arytmetycznego:
\[r = a_2 - a_1 = -1 - 2 = -3\]

Sprawdzamy: \(a_3 - a_2 = -4 - (-1) = -3\) ✓ - różnica jest stała, to faktycznie ciąg arytmetyczny.

**Krok 2: Wstaw do wzoru ogólnego.**

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]

Podstawiamy \(a_1 = 2\), \(r = -3\):
\[a_n = 2 + (n-1) \cdot (-3)\]
\[a_n = 2 - 3n + 3\]
\[a_n = -3n + 5\]

**Odpowiedź: \(a_n = -3n + 5\)** - to odpowiedź **A**.

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

Mamy kandydata \(a_n = -3n + 5\). Sprawdzamy, czy daje właściwe wyrazy:

\[a_1 = -3 \cdot 1 + 5 = -3 + 5 = 2 \checkmark\]
\[a_2 = -3 \cdot 2 + 5 = -6 + 5 = -1 \checkmark\]
\[a_3 = -3 \cdot 3 + 5 = -9 + 5 = -4 \checkmark\]

Wszystkie trzy wyrazy się zgadzają - wzór jest poprawny.

Możemy też sprawdzić, że różnica między kolejnymi wyrazami wynosi \(-3\) (stała) - warunek ciągu arytmetycznego jest spełniony.

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]
gdzie \(a_1\) to pierwszy wyraz, a \(r\) to różnica ciągu. Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | \(a_n = n - 3\) - różnica wynosi \(+1\), a nie \(-3\). Sprawdzamy: \(a_1 = 1 - 3 = -2 \neq 2\). Ktoś mógł zamienić \(a_1\) z \(r\) lub źle odczytać wyraz. |
| C | \(a_n = -n + 3\) - różnica wynosi \(-1\) zamiast \(-3\). Sprawdzamy: \(a_1 = -1 + 3 = 2\) ✓, ale \(a_2 = -2 + 3 = 1 \neq -1\) ✗. Typowy błąd: wzięcie \(r = a_1 - a_2 = 1\) zamiast \(a_2 - a_1 = -3\), a potem jeszcze z błędem znaku. |
| D | \(a_n = 3n - 5\) - różnica wynosi \(+3\) (ciąg rosnący), a nasz ciąg maleje. Sprawdzamy: \(a_1 = 3 - 5 = -2 \neq 2\). Ktoś zgubił oba minusy: i przy \(r\), i przy wyliczeniu stałej. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę ciągu liczymy zawsze jako \(r = a_{n+1} - a_n\) (następny **minus** poprzedni). Odwrócenie kolejności da zły znak i zupełnie inny wzór.

> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu wzoru **zawsze sprawdź** przynajmniej \(a_1\). Wiele błędów rachunkowych (np. przy rozwijaniu nawiasu \((n-1) \cdot r\)) wychodzi natychmiast przy podstawieniu \(n = 1\).

> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg malejący ma **ujemną** różnicę \(r < 0\). Jeśli wyrazy maleją (\(2, -1, -4, \ldots\)), wzór musi mieć \(-3n\), a nie \(+3n\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Ciąg arytmetyczny: \(a_n = a_1 + (n-1)r\).
\(a_1 = 2, r = a_2 - a_1 = -1 - 2 = -3\).
\[a_n = 2 + (n-1)(-3) = 2 - 3n + 3 = -3n + 5.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie poprzez podstawienie
Sprawdzamy każdy wzór dla \(n = 1, 2, 3\). Oczekujemy \(2, -1, -4\).
- **A.** \(a_n = -3n+5\): \(a_1 = 2, a_2 = -1, a_3 = -4\) ✓
- **B.** \(a_n = n-3\): \(a_1 = -2\) ✗
- **C.** \(a_n = -n+3\): \(a_1 = 2, a_2 = 1\) ✗
- **D.** \(a_n = 3n-5\): \(a_1 = -2\) ✗

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B.** Nie jest ciągiem arytmetycznym z różnicą \(-3\).
- **C.** Różnica \(-1\) (za mały spadek).
- **D.** Rosnący ciąg o różnicy \(+3\), a tu mamy malejący o \(-3\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_