# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria, równania i nierówności

## Treść

Jeżeli trójkąty ABC i _A' B' C'_ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 \(cm^{2}\) _A' B'_ i 50 \(cm^{2}\) , to skala podobieństwa AB[ jest równa ]

A. \(2\)
B. \(\dfrac{1}{2}\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(\sqrt{2}\)

## Sposób 1 - ze wzoru na pola figur podobnych

**Punkt wyjścia:** Jeśli dwie figury są podobne w skali \(k\), to stosunek ich pól wynosi \(k^2\).

Mamy:
- Pole trójkąta \(ABC\): \(P_{ABC} = 25 \text{ cm}^2\)
- Pole trójkąta \(A'B'C'\): \(P_{A'B'C'} = 50 \text{ cm}^2\)
- Szukana skala podobieństwa: \(k = \dfrac{A'B'}{AB}\)

**Krok 1:** Zapisujemy związek między polami a skalą:
\[\frac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}} = k^2\]

**Krok 2:** Podstawiamy dane:
\[\frac{50}{25} = k^2\]
\[k^2 = 2\]

**Krok 3:** Wyznaczamy \(k\) (skala podobieństwa jest dodatnia):
\[k = \sqrt{2}\]

**Zatem skala podobieństwa \(\dfrac{A'B'}{AB} = \sqrt{2}\).**

## Sposób 2 - weryfikacja przez konkretny przykład

Sprawdźmy, że wynik jest poprawny, biorąc konkretne trójkąty.

**Weźmy trójkąt równoboczny o boku \(a\)** - jego pole wynosi \(P = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

Chcemy, by trójkąt \(ABC\) miał pole \(25\text{ cm}^2\), a \(A'B'C'\) miał pole \(50\text{ cm}^2\).

Jeśli bok \(ABC\) to \(a\), a bok \(A'B'C'\) to \(a'\), to:
\[\frac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}} = \frac{\frac{(a')^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{(a')^2}{a^2} = \left(\frac{a'}{a}\right)^2\]

Czyli:
\[\left(\frac{a'}{a}\right)^2 = \frac{50}{25} = 2 \implies \frac{a'}{a} = \sqrt{2}\]

**Wynik potwierdzony: skala podobieństwa wynosi \(\sqrt{2}\).**

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - pola figur podobnych:
\[\frac{P_B}{P_A} = k^2\]
gdzie \(k\) to skala podobieństwa (stosunek odpowiadających sobie boków).

To jest **kluczowy wzór** użyty w Sposobie 1. Znając stosunek pól, pierwiastkujemy go, by otrzymać skalę podobieństwa.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A: \(2\) | Uczeń oblicza stosunek pól \(\dfrac{50}{25} = 2\) i uznaje go za skalę podobieństwa - **zapomina, że skala to \(\sqrt{\text{stosunku pól}}\)** |
| B: \(\dfrac{1}{2}\) | Uczeń odwraca stosunek pól: \(\dfrac{25}{50} = \dfrac{1}{2}\) - myli kierunek skali i dodatkowo nie pierwiastkuje |
| D: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | Uczeń poprawnie pierwiastkuje, ale odwraca wynik: \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) - bierze skalę \(\dfrac{AB}{A'B'}\) zamiast \(\dfrac{A'B'}{AB}\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Skala podobieństwa dotyczy **długości boków** (pierwsza potęga), a stosunek pól to **kwadrat** skali. Nie wolno mylić tych dwóch wielkości!

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o \(\dfrac{A'B'}{AB}\), czyli stosunek boku większego trójkąta do mniejszego - wynik musi być **większy od 1** (bo \(P_{A'B'C'} > P_{ABC}\)). Odpowiedzi B i D od razu można wykluczyć, bo są mniejsze od 1.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj **kierunek** skali - czy pytanie pyta o \(\dfrac{A'B'}{AB}\) czy o \(\dfrac{AB}{A'B'}\). To częste źródło błędu przy odpowiedzi D.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wzór na stosunek pól figur podobnych
Dla figur podobnych w skali \(k\) zachodzi:
\[\dfrac{P_2}{P_1} = k^2.\]

Z treści: \(\dfrac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}} = \dfrac{50}{25} = 2\), zatem:
\[k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2}.\]
(Bierzemy wartość dodatnią - skala jest dodatnia).

### Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie
\(k = \sqrt{\dfrac{P_2}{P_1}} = \sqrt{\dfrac{50}{25}} = \sqrt{2}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(2\):** ktoś wziął bezpośrednio stosunek pól jako skalę, zapomniał o pierwiastku.
- **B. \(\tfrac{1}{2}\):** odwrócony stosunek, ignoruje pierwiastek.
- **D. \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\):** to \(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\) - odwrotność skali (skala z \(A'B'C'\) do \(ABC\)).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_