# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Liczby: x 2, 6, 12 , w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa A. 0

A. \(0\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(5\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D (\(x = 5\))

## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich wyrazów:
\[a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\]

Mamy trzy kolejne wyrazy: \(x-2, \ 6, \ 12\). Środkowy wyraz to \(6\), więc:
\[6^2 = (x-2) \cdot 12\]
\[36 = 12(x-2)\]
\[3 = x - 2\]
\[\boxed{x = 5}\]

## Sposób 2 - stały iloraz ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały:
\[\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}\]

Podstawiamy nasze wyrazy:
\[\frac{6}{x-2} = \frac{12}{6}\]

Prawa strona jest prosta do obliczenia:
\[\frac{12}{6} = 2\]

Mamy więc równanie:
\[\frac{6}{x-2} = 2\]
\[6 = 2(x-2)\]
\[6 = 2x - 4\]
\[10 = 2x\]
\[\boxed{x = 5}\]

**Weryfikacja:** Wyrazy to \(5-2=3, \ 6, \ 12\). Sprawdzamy iloraz: \(\frac{6}{3} = 2\) i \(\frac{12}{6} = 2\). Iloraz stały \(q = 2\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:
\[(a_n)^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do ustawienia równania.

Definicja ciągu geometrycznego (iloraz stały) - użyta wprost w Sposobie 2:
\[q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \text{const}\]

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A (\(x=0\)) | Uczeń zapomina, że wyrazem ciągu jest \(x-2\), a nie \(x\). Rozwiązuje \(6^2 = x \cdot 12\), dostaje \(x = 3\), a potem myli się i wybiera \(x=0\) |
| B (\(x=2\)) | Wyraz \(x-2 = 0\) - ale \(0\) nie może być wyrazem ciągu geometrycznego! (dzielenie przez zero) |
| C (\(x=3\)) | Klasyczna pomyłka: uczeń poprawnie rozwiązuje \(12(x-2)=36\), ale dostaje \(x-2=3\) i zapisuje \(x=3\) zamiast \(x=5\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wyrazem ciągu jest \(x-2\), nie \(x\)! Po znalezieniu \(x-2 = 3\) trzeba jeszcze dodać \(2\). To najpopularniejszy błąd w tym zadaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** \(x = 2\) dałoby wyraz \(x - 2 = 0\), a ciąg geometryczny nie może zawierać zera (nie byłoby sensu dzielić przez zero przy obliczaniu ilorazu).

> ⚠️ **Uwaga:** Własność \(a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\) działa **tylko** dla środkowego wyrazu - nie mylić ze wzorem arytmetycznym \(a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\), który dotyczy ciągu **arytmetycznego**.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego
W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiednich:
\[a_2^2 = a_1 \cdot a_3.\]
\[6^2 = (x-2) \cdot 12\]
\[36 = 12(x-2)\]
\[x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5.\]

### Sposób 2 - Iloraz ciągu geometrycznego
Iloraz \(q\): \(q = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{12}{6} = 2\).
Zatem \(a_1 = \dfrac{a_2}{q} = \dfrac{6}{2} = 3\), więc \(x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5\).

### Sposób 3 - Sprawdzenie
Dla \(x = 5\): wyrazy to \(3, 6, 12\) - rzeczywiście każdy następny jest dwa razy większy (iloraz \(q = 2\)). ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(0\):** wtedy ciąg \(-2, 6, 12\) - \(6 \ne \sqrt{(-2) \cdot 12}\) (bo iloczyn ujemny).
- **B. \(2\):** wtedy \(0, 6, 12\) - ciąg z \(0\) nie jest geometryczny.
- **C. \(3\):** wtedy \(1, 6, 12\) - \(6^2 = 36 \ne 1 \cdot 12 = 12\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_