# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{2}{5}\), to wartość wyrażenia \(\frac{3\cos \alpha - 2\sin \alpha}{\sin \alpha - 5\cos \alpha}\) jest równa

A. \(-\dfrac{11}{23}\)
B. \(\dfrac{24}{5}\)
C. \(-\dfrac{23}{11}\)
D. \(\dfrac{5}{24}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(-\dfrac{11}{23}\)

## Sposób 1 - Podziel licznik i mianownik przez \(\cos\alpha\)

Mamy \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}\) i chcemy obliczyć wyrażenie:
\[\frac{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\sin\alpha - 5\cos\alpha}\]

**Kluczowa obserwacja:** dzielimy licznik i mianownik przez \(\cos\alpha \neq 0\) (bo \(\alpha\) jest kątem ostrym). Dzięki temu pojawi się \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), którego wartość znamy!

\[\frac{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\sin\alpha - 5\cos\alpha} = \frac{\dfrac{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{\sin\alpha - 5\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{3 - 2\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 5}\]

Podstawiamy \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{5}\):

\[= \frac{3 - 2 \cdot \dfrac{2}{5}}{\dfrac{2}{5} - 5} = \frac{3 - \dfrac{4}{5}}{\dfrac{2}{5} - \dfrac{25}{5}} = \frac{\dfrac{15}{5} - \dfrac{4}{5}}{\dfrac{2-25}{5}} = \frac{\dfrac{11}{5}}{-\dfrac{23}{5}}\]

\[\boxed{= \frac{11}{5} \cdot \left(-\frac{5}{23}\right) = -\frac{11}{23}}\]

## Sposób 2 - Wyznacz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\) jawnie (z trójkąta prostokątnego)

Jeśli \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{5}\), możemy wyobrazić sobie trójkąt prostokątny:
- przyprostokątna naprzeciwległa do \(\alpha\): \(2\)
- przyprostokątna przyległa do \(\alpha\): \(5\)
- przeciwprostokątna: \(\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\)

Stąd:
\[\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}, \qquad \cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{29}}\]

Podstawiamy do wyrażenia:

**Licznik:**
\[3\cos\alpha - 2\sin\alpha = 3 \cdot \frac{5}{\sqrt{29}} - 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{15 - 4}{\sqrt{29}} = \frac{11}{\sqrt{29}}\]

**Mianownik:**
\[\sin\alpha - 5\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{29}} - 5 \cdot \frac{5}{\sqrt{29}} = \frac{2 - 25}{\sqrt{29}} = \frac{-23}{\sqrt{29}}\]

**Wynik:**
\[\frac{\dfrac{11}{\sqrt{29}}}{\dfrac{-23}{\sqrt{29}}} = \frac{11}{-23} = \boxed{-\frac{11}{23}}\]

Obydwa sposoby dają ten sam wynik. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa i jedynka trygonometryczna:
\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]

W Sposobie 1 bezpośrednio korzystamy z \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) po podzieleniu przez \(\cos\alpha\).

W Sposobie 2 korzystamy z tw. Pitagorasa do wyznaczenia przeciwprostokątnej, co jest równoważne jedynce trygonometrycznej: skoro \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) i \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}\), to proporcja boków \(2 : 5 : \sqrt{29}\) jest poprawna.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **B** \(\dfrac{24}{5}\) | Uczeń myli \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) z \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) i podstawia \(\cos\alpha = \dfrac{2}{5}\), \(\sin\alpha = \dfrac{5}{2}\) - wartości, które w ogóle nie mogą być sinus/cosinus kąta ostrego |
| **C** \(-\dfrac{23}{11}\) | Odwrócenie ułamka - uczeń zamienił miejscami licznik i mianownik, wyliczając \(\dfrac{\sin\alpha - 5\cos\alpha}{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}\) |
| **D** \(\dfrac{5}{24}\) | Pominięcie znaku minus przy dzieleniu przez \(\cos\alpha\) lub błędne podzielenie - wynik jest wartością bezwzględną lub wynikiem z błędnym znakiem mianownika |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj wyznaczać \(\alpha\) (np. przez kalkulator). To strata czasu - zadanie jest skonstruowane tak, żeby \(\sqrt{29}\) samo się skróciło!

> ⚠️ **Uwaga:** Dzieląc przez \(\cos\alpha\), musisz podzielić **oba** wyrazy w liczniku i **oba** wyrazy w mianowniku. Pomijanie jednego wyrazu to najczęstszy błąd rachunkowy.

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź znak mianownika! \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{5} < 1 < 5\), więc \(\sin\alpha - 5\cos\alpha < 0\) - wynik musi być ujemny. Jeśli wychodzi Ci coś dodatniego, szukaj błędu!

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Dzielenie przez \(\cos\alpha\)
Dzielimy licznik i mianownik wyrażenia przez \(\cos\alpha\) (\(\cos\alpha \ne 0\), bo \(\alpha\) ostry):
\[\dfrac{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\sin\alpha - 5\cos\alpha} = \dfrac{3 - 2\tg\alpha}{\tg\alpha - 5}.\]

Podstawiamy \(\tg\alpha = \tfrac{2}{5}\):
\[\dfrac{3 - 2\cdot\tfrac{2}{5}}{\tfrac{2}{5} - 5} = \dfrac{3 - \tfrac{4}{5}}{\tfrac{2}{5} - \tfrac{25}{5}} = \dfrac{\tfrac{15-4}{5}}{\tfrac{-23}{5}} = \dfrac{\tfrac{11}{5}}{-\tfrac{23}{5}} = -\dfrac{11}{23}.\]

### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny
\(\tg\alpha = \tfrac{2}{5}\): przyjmujemy przyprostokątne \(2\) i \(5\), przeciwprostokątna \(\sqrt{4+25} = \sqrt{29}\).
\(\sin\alpha = \tfrac{2}{\sqrt{29}}, \cos\alpha = \tfrac{5}{\sqrt{29}}\).
\[\dfrac{3\cdot\tfrac{5}{\sqrt{29}} - 2\cdot\tfrac{2}{\sqrt{29}}}{\tfrac{2}{\sqrt{29}} - 5\cdot\tfrac{5}{\sqrt{29}}} = \dfrac{15 - 4}{2 - 25} = \dfrac{11}{-23} = -\dfrac{11}{23}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(\tfrac{24}{5}\):** błąd w sprowadzaniu do wspólnego mianownika.
- **C. \(-\tfrac{23}{11}\):** odwrotność poprawnej odpowiedzi (zamiana licznika z mianownikiem).
- **D. \(\tfrac{5}{24}\):** odwrotność i błędny znak.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/2) — Liczba \(\sin^{3} 20^{\circ} + \cos^{2} 20^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ}\) jest równa A. \(\cos 20^\circ\) B. \(\sin 20^\circ\) C. \(\tg 20^\circ\) D. \(\sin 20
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/13) — Wartość wyrażenia 2sin2 \(18^{\circ}\)+ sin2 \(72^{\circ}\)+ cos2 \(18^{\circ}\) jest równa A. \(0\) B. \(1\) C. \(2\) D. \(4\)
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2014-operon-probna-rozszerzona/zad/7) — Dany jest trójkąt o boku długości a = 4 i kącie przyległym do tego boku 45^ . Kąt leżący naprzeciwko boku a ma miarę 30^ . Oblicz długość boku leżącego naprzeci
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-a-2605/zad/18) — A. \( \dfrac{1}{\sqrt{10}} \) B. \( \dfrac{1}{3} \) C. \( \dfrac{3}{\sqrt{10}} \) D. \( \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}} \)

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_