# Matematyka — zadanie 18

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/18
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Funkcje, funkcja liniowa

## Treść

O funkcji liniowej f wiadomo, że f 1 2 . Do wykresu tej funkcji należy punkt P ( 2,3) . Wzór funkcji f to

A. \(f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}\)
B. \(f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2\)
C. \(f(x) = -3x + 7\)
D. \(f(x) = -2x + 4\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

\[f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}\]

## Sposób 1 - Układ równań z warunków

Każda funkcja liniowa ma postać \(f(x) = ax + b\). Mamy dwa warunki - każdy daje nam jedno równanie z dwiema niewiadomymi \(a\) i \(b\). Wystarczy rozwiązać układ.

**Warunek 1:** \(f(1) = 2\)
\[a \cdot 1 + b = 2 \implies a + b = 2\]

**Warunek 2:** punkt \(P = (-2, 3)\) należy do wykresu, czyli \(f(-2) = 3\)
\[a \cdot (-2) + b = 3 \implies -2a + b = 3\]

Mamy układ:
\[\begin{cases} a + b = 2 \\ -2a + b = 3 \end{cases}\]

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy \(b\)):
\[(-2a + b) - (a + b) = 3 - 2\]
\[-3a = 1\]
\[a = -\dfrac{1}{3}\]

Podstawiamy do pierwszego równania:
\[-\dfrac{1}{3} + b = 2 \implies b = 2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\]

**Wzór funkcji:** \(f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}\)

## Sposób 2 - Wyznaczenie nachylenia ze wzoru na współczynnik kierunkowy

Znamy dwa punkty należące do wykresu: \((1, 2)\) oraz \((-2, 3)\). Wprost ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty:

\[a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{3 - 2}{-2 - 1} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}\]

Teraz wyznaczamy \(b\), podstawiając punkt \((1, 2)\):
\[2 = -\dfrac{1}{3} \cdot 1 + b \implies b = 2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\]

**Weryfikacja na punkcie \(P = (-2, 3)\):**
\[f(-2) = -\dfrac{1}{3} \cdot (-2) + \dfrac{7}{3} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\) oraz wzór na współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty:

\[a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

To jest wiedza podstawowa, niewymagająca karty wzorów.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń oblicza \(a = \frac{2-3}{1-(-2)} = -\frac{1}{3}\) poprawnie, ale przy wyznaczaniu \(b\) popełnia błąd arytmetyczny i dostaje \(b = 2\) zamiast \(\frac{7}{3}\) - wynika to często z pominięcia ułamka \(\frac{1}{3}\) |
| C | Uczeń odwraca kolejność punktów w liczniku i mianowniku: \(a = \frac{1-2}{-2-1} \cdot (-1) = 3\) albo myli znaki, dostając \(a = -3\); potem wyznacza \(b = 7\) z warunku \(f(1)=2\) |
| D | Uczeń liczy \(a = \frac{3-2}{-2-1}\) ale błędnie upraszcza jako \(-\frac{1}{2}\) lub \(-2\); np. myli się przy \(\frac{1}{-3}\) i pisze \(-2\), potem wyznacza \(b = 4\) |

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) kolejność punktów musi być SPÓJNA - jeśli w liczniku dajesz \(y_2 - y_1\), to w mianowniku też \(x_2 - x_1\) (nie odwrotnie). Zamiana kolejności w jednym miejscu zmienia znak \(a\).

> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \(a = -\frac{1}{3}\) podstawiaj do równania ostrożnie - tu pojawiają się ułamki. Łatwo zgubić \(\frac{1}{3}\) przy dodawaniu do liczby całkowitej: \(2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\), nie \(\frac{2}{3}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj wynik, podstawiając OBA punkty do wzoru końcowego - tu wystarczy 10 sekund, a pozwala wyłapać błąd przed zaznaczeniem odpowiedzi.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Układ równań
Funkcja liniowa: \(f(x) = ax + b\).
Z \(f(1) = 2\): \(a + b = 2\).
Z \(P = (-2, 3)\): \(-2a + b = 3\).

Odejmujemy równania:
\[(a + b) - (-2a + b) = 2 - 3\]
\[3a = -1 \Rightarrow a = -\tfrac{1}{3}.\]
I wtedy \(b = 2 - a = 2 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{7}{3}\).

Zatem \(f(x) = -\tfrac{1}{3}x + \tfrac{7}{3}\).

### Sposób 2 - Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów
Punkt \((1, 2)\) i \((-2, 3)\):
\[a = \dfrac{3 - 2}{-2 - 1} = \dfrac{1}{-3} = -\tfrac{1}{3}.\]
Postać kierunkowa przez \((1, 2)\):
\[y - 2 = -\tfrac{1}{3}(x - 1) \Rightarrow y = -\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{3} + 2 = -\tfrac{1}{3}x + \tfrac{7}{3}.\]

### Sposób 3 - Sprawdzenie
Dla odp. A: \(f(1) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{7}{3} = 2\) ✓, \(f(-2) = \tfrac{2}{3} + \tfrac{7}{3} = 3\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B.** \(f(1) = -\tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{3}{2} \ne 2\) ✗
- **C.** \(f(1) = -3 + 7 = 4 \ne 2\) ✗
- **D.** \(f(1) = -2 + 4 = 2\) ✓, ale \(f(-2) = 4 + 4 = 8 \ne 3\) ✗

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/18)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F18)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥-4. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja 𝑓 jest malejąca i w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) jej 
- [Zadanie 13.1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/13.1) — Zadanie 13.1. (0-1) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Współczynnik 𝑎 we wzorze
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (3 -𝑚)𝑥-4. Funkcja 𝑓 nie ma miejsca zerowego dla 𝑚 równego A. (-3) B. 0 C. 3 D. 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/13) — Zadanie 13. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (3 -𝑚)𝑥-4. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja 𝑓 nie ma miejsc

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_