# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria, średnia arytmetyczna, mediana, statystyka

## Treść

Zadanie 33. (5 pkt)
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest
nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
°
40 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
50
BRUDNOPIS
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
51
Karta odpowiedzi
Wypełnia piszący
Nr
zadania
A
B
C
D
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Wypełnia sprawdzający
Nr
zadania
X
0
1
2
26.
27.
28.
29.
30.
Nr
zadania
X
0
1
2
3
4
5
6
31.
32.
33.
Suma
punktów
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cyfra
dziesiątek
Cyfra
jednostek
D
J
52
Zestaw P1
Odpowiedzi do zadań zamkniętych
Nr zadania
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Odpowiedź A A B C C B B D D B
B
B
A
C
D
C
B
A
A C A D A
A
A
Odpowiedzi do zadań otwartych
Numer zadania
Odpowiedź
26
2
0,
a =
5
3
25
a =
27
12
x
28
Dowód
29
np.
1,
a =
2
b =
30
%
108
31
45km/h, 54 km/h
32
54
19
33
2
1024
484,9
3 tg 40
V =
≈
⋅
°
PRZYKŁADOWY ARKUSZ
EGZAMINACYJNY
Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy 170 minut
Instrukcja dla piszącego
1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron.
2. W zadaniach od 1. do 20. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D,
z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz tylko jedną
odpowiedź i zaznacz ją na karcie odpowiedzi.
3. Zaznaczając odpowiedzi w części karty przeznaczonej dla
zdającego, zamaluj
pola do tego przeznaczone. Błędne
zaznaczenie otocz kółkiem
i zaznacz właściwe.
4. Rozwiązania zadań od 21. do 29. zapisz starannie i czytelnie
w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
5. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
6. Nie używaj korektora. Błędne zapisy przekreśl.
7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
8. Obok numeru każdego zadania podana jest maksymalna liczba
punktów możliwych do uzyskania.
9. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
10. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.
Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
egzaminatora.
Życzymy powodzenia!
Zestaw P2
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie
50 punktów
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
54
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną
poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (1 pkt)
Liczba
20
40
2
4
⋅
jest równa
A.
60
2
B.
50
4
C.
60
8
D.
800
8
Zadanie 2. (1 pkt)
Zbiór rozwiązań nierówności
1
3 ≥
x
jest przedstawiony na rysunku
A.
B.
C.
D.
Zadanie 3. (1 pkt)
O zdarzeniach losowych A, B wiadomo, że: ( )
5,0
A
P
, ( )
3,0
B
P
i (
)
7,0
∪B
A
P
Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B spełnia warunek
A.
(
)
0,2
P A
B
∩
B.
(
)
0,3
P A
B
∩
>
C.
(
)
0,2
P A
B
∩
<
D.
(
)
0,3
P A
B
∩
Zadanie 4. (1 pkt)
Wskaż liczbę, której 6% jest równe 6.
A. 0,36
B. 3,6
C. 10
D. 100
Zadanie 5. (1 pkt)
Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 30°.
Kąt rozwarty tego równoległoboku jest równy
A. 105°
B. 115°
C. 125°
D. 135°
Zadanie 6. (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem ( )
⎩
⎨
⎧
>
≤
3
dla
2
3
dla
4
x
x
x
x
x
f
Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4
4
x
0
4
x
0
2
4
x
0
2
4
x
0
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
55
BRUDNOPIS
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
56
Zadanie 7. (1 pkt)
Kąt α jest ostry i
4
3
sin
α
. Wówczas
A.
o
30
α <
B.
o
30
α =
C.
o
45
α =
D.
o
45
α >
Zadanie 8. (1 pkt)
Liczba
3
5
3
4
7
7 ⋅
jest równa
A.
5
4
7
B.
3
7
C.
9
20
7
D.
2
7
Zadanie 9. (1 pkt)
Dana jest funkcja
( )
x
f
y =
określona dla
8
,1
∈
x
, której wykres jest przedstawiony
na rysunku:
Wskaż zbiór wartości tej funkcji.
A. {
}
8
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1,0
,1
B. (
)
4
,1
C.
4
,1
D.
8
,1
Zadanie 10. (1 pkt)
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a piąty wyraz tego ciągu jest równy 1.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A.
4
B. 4 2
C. 16
D.
2
16
Zadanie 11. (1 pkt)
Pewien wielościan ma 6 krawędzi. Liczba jego ścian jest równa
A. 4
B. 5
C. 6
D. 9
Zadanie 12. (1 pkt)
Wykres funkcji kwadratowej ( )
(
)
2
3
2 -
= x
x
f
nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
A.
3
y
B.
1
y
C.
1
y
D.
3
y
0
1
1
x
y
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
57
BRUDNOPIS
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
58
Zadanie 13. (1 pkt)
Odcinki AB i CD są równoległe. Długości odcinków AB, CD i AD są podane na rysunku.
Długość odcinka DE jest równa
A.
44
B. 40
C. 36
D. 15
Zadanie 14. (1 pkt)
Wskaż równanie okręgu o środku
(
)
2
,1 -
S
i promieniu
2
r
A.
(
)
(
)
2
2
1
2
2
y
x
B.
(
)
(
)
2
2
1
2
2
y
x
C.
(
)
(
)
4
2
1
2
2
y
x
D.
(
)
(
)
4
2
1
2
2
y
x
Zadanie 15. (1 pkt)
Równanie
x
x
x
3
1
2
A.
ma dwa rozwiązania:
1
,
3
1
x
x
B.
ma dwa rozwiązania:
1
,
3
1
x
x
C.
nie ma żadnego rozwiązania.
D.
ma tylko jedno rozwiązanie:
1
x
Zadanie 16. (1 pkt)
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 24. Objętość tego sześcianu jest
równa
A.
64
B. 27
C. 24
D. 8
E
A
B
C
D
32
24
20
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
59
BRUDNOPIS
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
60
Zadanie 17. (1 pkt)
Ciąg (
)
n
a
jest określony wzorem
(
) (
)
n
n
a
n
n
2
1
2 -
dla
1
≥
n
. Wtedy
A.
3
3 >
a
B.
3
3 =
a
C.
2
3 <
a
D.
2
3 =
a
Zadanie 18. (1 pkt)
Liczba
12
log
jest równa
A.
4
log
3
log ⋅
B.
4
log
3
log +
C.
4
log
16
log
D.
2
log
10
log
Zadanie 19. (1 pkt)
Zbiorem rozwiązań nierówności
x
x
4
2 >
jest
A.
(
)
(
)
,
4
0,
-∞-
∪
+ ∞
B.
(
)
4,∞
C.
(
)
(
)
∞
∪
∞
,2
2
,
D.
(
)
(
)
∞
∪
∞
,4
0
,
Zadanie 20. (1 pkt)
Prosta l ma równanie
2
7 +
x
y
. Równanie prostej prostopadłej do l i przechodzącej przez
punkt
(
)
0,1
P =
ma postać
A.
7
1
y
x
B.
1
7 +
x
y
C.
1
7
1
x
y
D.
1
1
7
y
x
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
61
BRUDNOPIS
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
62
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 21. do 29. należy zapisać w wyznaczonych miejscach
pod treścią zadania.
Zadanie 21. (2 pkt)
Punkty
(
)
5
,3 -
A
,
(
)1
,4 -
B
,
(
)
3
,2
C
są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.
Oblicz długość ramienia tego trójkąta.
Odpowiedź:
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
63
Zadanie 22. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
0
12
3
4
2
3
x
x
x
Odpowiedź:
Zadanie 23. (2 pkt)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 i 4, a jeden z kątów ostrych
ma miarę α . Oblicz
α
α cos
sin
⋅
Odpowiedź:
cos
sin
⋅
α
α
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
64
Zadanie 24. (2 pkt)
Uczeń otrzymał pięć ocen: 5, 3, 6, x, 3. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4.
Oblicz x i medianę tych pięciu ocen.
Odpowiedź:
x
, a mediana tych pięciu ocen jest równa
Zadanie 25. (2 pkt)
Liczby
6
,3
,2
x
x
są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu
arytmetycznego. Oblicz x.
Odpowiedź:
x
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
65
Zadanie 26. (6 pkt)
Do zbiornika o pojemności
3
700m można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej
godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o
3
5m wody więcej niż druga rura. Czas
napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 16 godzin krótszy od czasu napełniania tego
zbiornika tylko drugą rurą. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony,
jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
66
Zadanie 27. (4 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie
ściany mają po dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia: liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o 1.
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
67
Zadanie 28. (5 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punkt D jest
środkiem krawędzi AB , odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają
długość 7. Oblicz długość krawędzi CS tego ostrosłupa.
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
68
Zadanie 29. (5 pkt)
Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że
2
2
2
2
DM
BM
CM
AM
A
B
C
D
M
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
69
BRUDNOPIS
Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki
Poziom podstawowy
70
Karta odpowiedzi
Wypełnia piszący
Nr
zadania
A
B
C
D
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Wypełnia sprawdzający
Nr
zadania
X
0
1
2
21.
22.
23.
24.
25.
Nr
zadania
X
0
1
2
3
4
5
6
26.
27.
28.
29.
Suma
punktów
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cyfra
dziesiątek
Cyfra
jednostek
D
J
71
Zestaw P2
Odpowiedzi do zadań zamkniętych.
Nr zadania
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Odpowiedź
B A C D A A D B C C
A
A
B
C
A D C B
D
C
Odpowiedzi do zadań otwartych.
Numer zadania
Odpowiedź
21
65
= AC
AB
22
3
,3
,4
x
x
x
23
5
2
cos
sin
⋅
α
α
24
3
x
, mediana jest równa 3
25
1
x
26
23 godziny 20 minut
27
9
4
28
9
CS
29
Dowód
72
PODSTAWOWE ZAŁOŻENIA OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH
ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI
Rozwiązanie zadania oceniamy według tego, jak daleko dotarł rozwiązujący na drodze
do całkowitego rozwiązania zadania. Rozwiązanie zadania przydzielamy do jednej
z następujących kategorii:
1. rozwiązanie, w którym nie ma istotnego postępu;
2. został dokonany istotny krok w kierunku rozwiązania, ale nie zostały pokonane
zasadnicze trudności zadania;
3. zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały
popełnione błędy, usterki;
4. zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, rozwiązanie zadania
nie zostało dokończone lub w dalszej części rozwiązania wystąpiły poważne błędy
merytoryczne;
5. zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, jednak dalsza część
rozwiązania zadania zawiera usterki (błędy rachunkowe, zgubienie rozwiązań, brak
wyboru właściwych rozwiązań itp.);
6. zadanie zostało rozwiązane bezbłędnie.
PRZYKŁADY OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH
ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 1. (6 pkt)
Dwa pociągi osobowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 616 km. Pociąg jadący
z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta
A i jechał z prędkością o 11 km/h mniejszą. Pociągi te dojechały do celu w tym samym
momencie. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do całkowitego rozwiązania zadania 1 pkt
Zapisanie zależności między drogą, prędkością i czasem dla jednego z pociągów,
np.:
t
v ⋅
616
(dla pociągu jadącego z miasta B do miasta A)
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t - odpowiednio z prędkością i czasem dla
pociągu wyjeżdżającego z B:
(
) (
)
⎩
⎨
⎧
⋅
⋅
1
11
616
616
t
v
t
v
73
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np:
(
)
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⋅
1
616
11
616
v
v
lub
(
)
616
616
11
1
t
t
⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały
popełnione błędy rachunkowe lub usterki 2 pkt
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt lub 5 pkt
¾ doprowadzenie równania wymiernego do równania kwadratowego 4 pkt
¾ rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie i nieobliczenie prędkości pociągów
albo rozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczenie prędkości obu pociągów 5 pkt
Rozwiązanie bezbłędne 6 pkt
Obliczenie prędkości pociągów: 77 km/h i 88 km/h.
Uwagi do schematu oceniania zadania 1.
1. Jeżeli zdający poda tylko odpowiedź, to otrzymuje 0 pkt - zdający nie stosuje się
do instrukcji dla zdającego umieszczonej na pierwszej stronie arkusza (punkt 4.).
2. Jeżeli zdający oznacza:
v - prędkość pociągu z A,
t - czas przejazdu pociągu z B,
lub odwrotnie i zapisze równanie:
616
v t⋅=
, to otrzymuje 0 pkt (brak postępu).
3. Jeżeli
zdający
pomyli
jednostki
lub
porównuje
wielkości
różnych
typów,
np. czas i prędkość, to otrzymuje 0 pkt.
4. Jeżeli zdający zapisał układ równań
(
) (
)
616
11
1
616
v t
v
t
⋅=
⎧
⎨
⋅
⎩
lub (
) (
)
616
11
1
616
v t
v
t
⋅=
⎧
⎨
⋅
⎩
to otrzymuje 1 pkt (za postęp).
74
Zadanie 2. (5 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punkt D jest
środkiem krawędzi AB, odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają
długość 7. Oblicz długość krawędzi CS tego ostrosłupa.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Wykonanie rysunku ostrosłupa, zaznaczenie na nim odcinka DS będącego jego
wysokością oraz zaznaczenie, że odcinek ten jest jednocześnie wysokością ściany
bocznej ABS.
Uwaga. Nie wymagamy rysunku, jeżeli z dalszych obliczeń wynika, że zdający
poprawnie interpretuje treść zadania.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt
Zdający poprawnie obliczy wysokość podstawy
3
4
h
oraz wysokość ostrosłupa
33
H
Uwaga. Jeżeli jedną z tych wysokości zdający obliczy z błędem rachunkowym i na tym
skończy rozwiązywanie zadania, to otrzymuje 3 pkt
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
Zdający popełni jeden błąd rachunkowy przy obliczaniu długości dowolnego spośród
trzech odcinków DC, DS, CS.
Rozwiązanie bezbłędne 5 pkt
Obliczenie długości krawędzi CS:
9
CS
Przyznajemy 0 pkt, gdy zdający źle zinterpretuje treść zadania.
75
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ
MATURALNYCH
ZADANIA ZAMKNIĘTE
Zadanie 1.
(1 pkt)
Liczba 30
90
3
9
⋅
jest równa
A.
210
3
B.
300
3
C.
120
9
D.
2700
27
Zadanie 2.
(1 pkt)
Liczba
8
3
2
3
3
9
⋅
jest równa
A.
3
3
B.
32
9
3
C.
4
3
D.
5
3
Zadanie 3.
(1 pkt)
Liczba log 24 jest równa
A. 2log 2
log 20
B.
2
log
2
6
log
C. 2log6
log12
D. log30
log6
Zadanie 4.
(1 pkt)
Liczba 30 to p% liczby 80, zatem
A.
40
p <
B.
40
p =
C.
42,5
p =
D.
42,5
p >
Zadanie 5.
(1 pkt)
4% liczby x jest równe 6, zatem
A.
150
x =
B.
150
x <
C.
240
x =
D.
240
x >
Zadanie 6.
(1 pkt)
Liczba y to 120% liczby .x Wynika stąd, że
A.
0,2
y
x
B.
0,2
y
x
x
C.
0,2
x
y
D.
0,2
x
y
y
Zadanie 7.
(1 pkt)
Rozwiązaniem równania
3
1
2
2
x
x
jest liczba
A.
4
3
B.
3
4
C. 3
8
D. 8
3
76
Zadanie 8.
(1 pkt)
Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie
2
5
6
0
x
x
jest
A.
6
B.
3
C.
2
D.
1
Zadanie 9.
(1 pkt)
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej ( )
(
)
1
2
x
m
x
f
. Wynika stąd, że
A.
0
m =
B.
1
m =
C.
2
m =
D.
3
m =
Zadanie 10. (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
3
4 dla
1
( )
2
1 dla
1
x
x
f x
x
x
<
⎧
= ⎨
≥
⎩
. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie 11. (1 pkt)
Rysunek przedstawia wykres funkcji
( )
x
f
y =
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji
(
)1
x
f
y
A.
B.
C.
D.
0
1
1
x
y
( )
x
f
y =
0
1
1
x
y
0
1
1
x
y
0
1
1
x
y
0
1
1
x
y
77
-1
5
x
0
-3
3
x
0
5
1
x
0
5
1
x
0
Zadanie 12. (1 pkt)
Który z zaznaczonych przedziałów jest zbiorem rozwiązań nierówności | 2
| 3
x
≤
?
A.
B.
C.
D.
Zadanie 13. (1 pkt)
Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem
2
4
11
y
x
x
A.
4
x = -
B.
2
x = -
C.
2
x =
D.
4
x =
Zadanie 14. (1 pkt)
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział (
3
,
∞
A.
(
)
2
( )
2
3
f x
x
B.
(
)
2
( )
2
3
f x
x
C.
(
)
2
( )
2
3
f x
x
D.
(
)
2
( )
2
3
f x
x
Zadanie 15. (1 pkt)
Zbiorem rozwiązań nierówności
2
5
x ≥
jest
A. (
) (
)
+∞
∪
∞
,5
5
,
B. (
)
∞
∪
∞
,
5
5
,
C.
)
∞
,
5
D.
)
∞
,5
Zadanie 16. (1 pkt)
Wykres funkcji kwadratowej
(
)
2
( )
3
1
4
f x
x
nie ma punktów wspólnych z prostą
o równaniu
A.
1
y
B.
1
y
C.
3
y = -
D.
5
y = -
78
Zadanie 17. (1 pkt)
Prosta o równaniu y
a
ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej
2
( )
6
10.
f x
x
x
Wynika stąd, że
A.
3
a =
B.
0
a =
C.
1
a = -
D.
3
a = -
Zadanie 18. (1 pkt)
Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej
2
( )
4
3
f x
x
x
- w przedziale
3
,0
?
A.
7
B.
4
C.
3
D.
2
Zadanie 19. (1 pkt)
Dane są wielomiany
3
2
( )
3
2 ,
( )
2
3 .
W x
x
x V x
x
x
Stopień wielomianu
( )
( )
W x V x
⋅
jest
równy
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
Zadanie 20. (1 pkt)
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie
4
5
13
0
x -
?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Zadanie 21. (1 pkt)
Wskaż liczbę rozwiązań równania
2
11
0
11
x
x
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie 22. (1 pkt)
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu
2
7
y
x
A.
2
7
y
x
B.
1
5
2
y
x
C.
1
2
2
y
x
D.
2
1
y
x
Zadanie 23. (1 pkt)
Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu
4
5
y
x
+ ?
A.
4
3
y
x
B.
1
3
4
y
x
C.
1
3
4
y
x
D.
4
3
y
x
Zadanie 24. (1 pkt)
Punkty
(
)
3
,1
A
i
(
)
9
,7
C
są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta ABCD. Promień
okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy
A. 10
B. 6 2
C. 5
D. 3 2
79
Zadanie 25. (1 pkt)
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (
)
(
)
2
2
3
1
4
x
y
z osiami układu
współrzędnych jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Zadanie 26. (1 pkt)
Środek S okręgu o równaniu
2
2
4
6
221
0
x
y
x
y
ma współrzędne
A.
( 2,3)
S = -
B.
(2, 3)
S =
C.
( 4,6)
S = -
D.
(4, 6)
S =
Zadanie 27. (1 pkt)
Dane są długości boków
5
BC
i
3
AC
trójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym β
(zobacz rysunek). Wtedy
A.
3
sin
5
β =
B.
4
sin
5
β =
C.
3 34
sin
34
β =
D.
5 34
sin
34
β =
Zadanie 28. (1 pkt)
Kąt α jest ostry i
1
sin
4
α =
. Wówczas
A.
3
cos
4
α <
B.
3
cos
4
α =
C.
13
cos
4
α =
D.
13
cos
4
α >
Zadanie 29. (1 pkt)
Kąt α jest kątem ostrym i
1
tg
2
α =
. Jaki warunek spełnia kąt α ?
A.
30
α <
D
B.
30
α =
D
C.
60
α =
D
D.
60
α >
D
A
B
C
β
80
α
β
S
A
B
Zadanie 30. (1 pkt)
Kąt między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A (zobacz rysunek) ma miarę
D
62
α
Wówczas
A.
D
118
β
B.
D
124
β
C.
D
138
β
D.
D
152
β
Zadanie 31. (1 pkt)
Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa180 .D
Jaka jest miara kąta środkowego?
A. 60D
B. 90D
C. 120D
D. 135D
Zadanie 32. (1 pkt)
Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest
równoległobokiem, jest równa 40 .D Miara kąta przy krótszej podstawie tego trapezu jest równa
A. 120D
B. 110D
C. 80D
D. 70D
Zadanie 33. (1 pkt)
Odcinki BC i DE są równoległe. Długości odcinków AC, CE i BC są podane na rysunku.
Długość odcinka DE jest równa
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
A
B
C
D
E
4
6
4
81

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(5\) ścian bocznych

## Sposób 1 - Wzór na krawędzie ostrosłupa

Ostrosłup o podstawie będącej wielokątem \(n\)-kątnym ma:
- \(n\) krawędzi podstawy
- \(n\) krawędzi bocznych (każdy wierzchołek podstawy łączy się z wierzchołkiem)

Łączna liczba krawędzi:
\[k = n + n = 2n\]

Z treści zadania wiemy, że \(k = 10\), więc:
\[2n = 10\]
\[n = 5\]

**Ostrosłup ma podstawę pięciokątną.** Liczba ścian bocznych jest równa liczbie boków podstawy:
\[\text{liczba ścian bocznych} = n = \mathbf{5}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez pełną strukturę bryły

Sprawdźmy, czy ostrosłup pięciokątny rzeczywiście ma 10 krawędzi.

Ostrosłup pięciokątny ma:
- wierzchołki: \(5\) (podstawa) \(+\) \(1\) (wierzchołek główny) \(= 6\)
- ściany: \(1\) (podstawa pięciokątna) \(+\) \(5\) (ściany boczne - trójkąty) \(= 6\)
- krawędzie: \(5\) (podstawa) \(+\) \(5\) (boczne) \(= 10\) ✓

Możemy też sprawdzić wzorem Eulera dla wielościanów:
\[V - E + F = 2\]
\[6 - 10 + 6 = 2 \quad \checkmark\]

Wszystko się zgadza - odpowiedź to \(\mathbf{5}\) ścian bocznych.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość własności ostrosłupów (definicja bryły i liczenie elementów).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B: \(7\) | Brak pomysłu - zgadywanie lub błędne liczenie: \(10 - 3 = 7\), bez sensu geometrycznego |
| C: \(8\) | Pomylenie ostrosłupa z graniastosłupem (\(n=4\) daje \(8\) krawędzi w graniastosłupie, ale tu mamy ostrosłup) |
| D: \(10\) | Uczeń utożsamia liczbę ścian bocznych z liczbą krawędzi - przepisuje dane z zadania |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić liczbę krawędzi ścian bocznych z liczbą samych ścian bocznych - to nie to samo! Ściany boczne to trójkąty, każdy ma 3 krawędzie, ale krawędzie podstawy i boczne są **wspólne** dla sąsiadujących ścian.

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(k = 2n\) dotyczy tylko **ostrosłupów**. Dla graniastosłupa \(k = 3n\) - nie mieszaj tych brył!

> ⚠️ **Uwaga:** Liczba ścian bocznych ostrosłupa = liczba boków podstawy = \(n\). Zawsze wróć do definicji: każdy bok podstawy wyznacza dokładnie jedną ścianę boczną (trójkąt).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Liczba krawędzi ostrosłupa
Ostrosłup o podstawie \(n\)-kątnej ma:
- \(n\) krawędzi podstawy,
- \(n\) krawędzi bocznych,
- **Łącznie \(2n\) krawędzi**.

\(2n = 10 \Rightarrow n = 5\).

Ostrosłup pięciokątny ma **5 ścian bocznych** (jedna ściana boczna na każdą krawędź podstawy).

### Sposób 2 - Wzór Eulera
\(W - K + S = 2\), gdzie \(W\) - wierzchołki, \(K\) - krawędzie, \(S\) - ściany.
Ostrosłup \(n\)-kątny: \(W = n+1, K = 2n, S = n+1\).
Dla \(K = 10\): \(n = 5\), więc \(S = 6\) (5 bocznych + 1 podstawa), czyli **5 bocznych**.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(7\):** ktoś źle policzył liczbę krawędzi.
- **C. \(8\):** niezgodne z żadną interpretacją.
- **D. \(10\):** ktoś uznał że liczba krawędzi = liczba ścian.

**Pamiętaj:** w ostrosłupie liczba ścian bocznych = liczba krawędzi podstawy = \(n\), a łączna liczba krawędzi = \(2n\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2010/zad/33) — Zadanie 33. (5 pkt) Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ° 40 . Oblicz o
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/15) — Zadanie 33. (5 pkt) Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ° 40 . Oblicz o
- [Zadanie 25](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/25) — Zadanie 33. (5 pkt) Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ° 40 . Oblicz o
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2003-maj-matura-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (4 pkt ) Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach długości : 1 1 1 1 D C B ABCDA 3 AD i 6 AB . Wysokość prostopadłościanu ma długość równą

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_