# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria, równania i nierówności

## Treść

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca.
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - tworząca stożka jest **dwa razy dłuższa** od wysokości walca.

## Sposób 1 - Bezpośrednie przyrównanie wzorów na pola powierzchni bocznych

**Oznaczenia:** niech \(r\) będzie wspólnym promieniem podstawy, \(l\) - tworzącą stożka, \(h\) - wysokością walca.

**Pole powierzchni bocznej stożka:**
\[P_{\text{stożek}} = \pi r l\]

**Pole powierzchni bocznej walca:**
\[P_{\text{walec}} = 2\pi r h\]

Warunek zadania mówi, że te pola są **równe**:
\[\pi r l = 2\pi r h\]

Dzielimy obie strony przez \(\pi r\) (zakładamy \(r > 0\)):
\[l = 2h\]

**Tworząca stożka jest dwa razy dłuższa od wysokości walca.** ✓

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnych liczb

Przyjmijmy \(r = 1\) i \(h = 3\). Wtedy:

Pole boczne walca:
\[P_{\text{walec}} = 2\pi \cdot 1 \cdot 3 = 6\pi\]

Szukamy \(l\) takiego, by pole boczne stożka było równe \(6\pi\):
\[\pi \cdot 1 \cdot l = 6\pi \implies l = 6\]

Sprawdzamy stosunek:
\[\frac{l}{h} = \frac{6}{3} = 2\]

Tworząca jest dwa razy dłuższa od wysokości walca - potwierdza odpowiedź **C**. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**

Pole powierzchni bocznej **stożka** (promień \(r\), tworząca \(l\)):
\[P_b = \pi r l\]

Pole powierzchni bocznej **walca** (promień \(r\), wysokość \(h\)):
\[P_b = 2\pi r h\]

Oba wzory użyte wprost do ustawienia równania w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Pomyłka - wzięcie pola **całkowitego** walca \(P_c = 2\pi r(r+h)\) zamiast bocznego, lub błąd w obliczeniach: \(\pi r l = 6\pi r h\) (skąd \(l = 6h\)) |
| B | Użycie błędnego wzoru na pole boczne walca jako \(\pi r h\) (bez czynnika 2): \(\pi r l = \pi r h\) daje \(l = h\) a przy innym błędzie rachunkowym wychodzi \(l = 3h\) |
| D | Błędne uproszczenie - uczeń "skraca" \(\pi r\) z obu stron i zapomina o współczynniku 2, dostając \(l = h\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Pole **boczne** walca to \(2\pi r h\), a nie \(\pi r h\) - ten czynnik 2 pochodzi z rozwinięcia bocznej powierzchni walca (prostokąt o bokach \(2\pi r\) i \(h\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca stożka \(l\) to **nie** wysokość stożka \(H\)! Tworząca łączy wierzchołek z punktem na okręgu podstawy i spełnia \(l = \sqrt{r^2 + H^2}\). W tym zadaniu pytamy o tworzącą \(l\), nie o wysokość \(H\).

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „takie same podstawy" oznacza **ten sam promień** \(r\) - dzięki temu \(\pi r\) skraca się z obu stron i wynik nie zależy od konkretnej wartości \(r\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wzory na pola powierzchni bocznych
Oznaczmy: \(r\) - promień podstawy (wspólny), \(l\) - tworząca stożka, \(H\) - wysokość walca.

- Pole powierzchni bocznej walca: \(P_w = 2\pi r H\).
- Pole powierzchni bocznej stożka: \(P_s = \pi r l\).

Z warunku równości:
\[\pi r l = 2\pi r H\]
\[l = 2H.\]

Tworząca stożka jest **dwa razy dłuższa** od wysokości walca.

### Sposób 2 - Analiza wymiarów
Stosunek \(\dfrac{P_s}{P_w} = \dfrac{\pi r l}{2\pi r H} = \dfrac{l}{2H}\). Gdy \(P_s = P_w\), to \(\dfrac{l}{2H} = 1\), więc \(l = 2H\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(6H\):** błąd rachunkowy - pomnożenie niezasadnie przez 3.
- **B. \(3H\):** błąd - prawdopodobnie ktoś użył złego wzoru na pole boczne.
- **D. \(l = H\):** zapomnienie o czynniku \(2\) we wzorze \(2\pi r H\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 48](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2010/zad/48) — Zadanie 48. (1 pkt) Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 2 × 3 × 5 ma długość A. 13 B. 29 C. 34 D. 38

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_