# Matematyka — zadanie 21

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/21
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności

## Treść

Liczba \(\left(\frac{1}{\left(\sqrt[3]{729} + \sqrt[4]{256} + 2\right)^{0}}\right)^{-2}\) jest równa

A. \(\dfrac{1}{225}\)
B. \(\dfrac{1}{15}\)
C. \(1\)
D. \(15\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

Liczba ta jest równa **\(1\)**.

## Sposób 1 - Własność potęgi zerowej

**Zauważamy kluczowy fakt:** każde wyrażenie podniesione do potęgi \(0\) (o ile nie jest zerem) daje \(1\).

**Krok 1.** Obliczamy podstawę ułamka w środku:
\[\sqrt[3]{729} + \sqrt[4]{256} + 2\]

Sprawdzamy kolejno:
\[729 = 3^6, \quad \text{więc } \sqrt[3]{729} = \sqrt[3]{3^6} = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2 = 9\]
\[256 = 2^8, \quad \text{więc } \sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{2^8} = 2^{\frac{8}{4}} = 2^2 = 4\]

Zatem:
\[\sqrt[3]{729} + \sqrt[4]{256} + 2 = 9 + 4 + 2 = 15\]

**Krok 2.** Stosujemy własność \(a^0 = 1\):
\[(15)^0 = 1\]

Zatem:
\[\frac{1}{(15)^0} = \frac{1}{1} = 1\]

**Krok 3.** Podnosimy \(1\) do potęgi \(-2\):
\[1^{-2} = \frac{1}{1^2} = \frac{1}{1} = 1\]

**Wynik: \(1\)**

## Sposób 2 - Od razu uproszczenie struktury wyrażenia

Zamiast liczyć co jest wewnątrz, **od razu rozpoznajemy strukturę**:

Mamy wyrażenie postaci:
\[\left(\frac{1}{(\ldots)^0}\right)^{-2}\]

Kluczowa obserwacja: **potęga zerowa czegokolwiek (niezerowego) daje 1**, więc:
\[(\ldots)^0 = 1\]

Nie musimy nawet sprawdzać co jest w środku - wystarczy upewnić się, że podstawa jest niezerowa.

Sprawdzamy: \(\sqrt[3]{729} + \sqrt[4]{256} + 2 = 9 + 4 + 2 = 15 \neq 0\) - warunek spełniony.

Zatem całe wyrażenie upraszcza się do:
\[\left(\frac{1}{1}\right)^{-2} = 1^{-2} = 1\]

**Wynik: \(1\)**

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**

Użyliśmy trzech własności:

1. Definicja \(n\)-tej potęgi z wykładnikiem wymiernym:
\[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Użyta przy obliczaniu \(\sqrt[3]{729} = 3^2 = 9\) i \(\sqrt[4]{256} = 2^2 = 4\).

2. Potęga zerowa:
\[a^0 = 1 \quad (a \neq 0)\]
Kluczowy wzór - cała trudność zadania kryje się tutaj.

3. Potęga ujemna:
\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]
Użyta przy \(1^{-2} = \frac{1}{1^2} = 1\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A \(\left(\frac{1}{225}\right)\) | Uczeń oblicza \(15^2 = 225\) i "wstawia" do mianownika, zapominając o potędze zerowej - liczy jakby wykładnik \(0\) nie istniał i stosuje potęgę \(-2\) bezpośrednio do \(15\): \(\left(\frac{1}{15}\right)^2 = \frac{1}{225}\) |
| B \(\left(\frac{1}{15}\right)\) | Uczeń zauważa \(15\) w środku, stosuje potęgę \(-1\) zamiast \(-2\), lub gubi zewnętrzną potęgę \(-2\) i zostaje z \(\frac{1}{15^0} = \frac{1}{1}\)… ale zamiast tego myśli, że \(\frac{1}{15^0} = \frac{1}{15}\) |
| D \((15)\) | Uczeń wprost odczytuje \(15\) ze środka wyrażenia, ignorując zarówno potęgę zerową, jak i ułamek oraz potęgę zewnętrzną |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Potęga zerowa dotyczy **całego wyrażenia** w nawiasie - nie tylko ostatniego składnika. \((\sqrt[3]{729} + \sqrt[4]{256} + 2)^0 = 1\) bez względu na to, jak skomplikowane jest to wyrażenie w środku.

> ⚠️ **Uwaga:** \(1^{-2} = 1\), bo \(\frac{1}{1^2} = \frac{1}{1} = 1\). Uważaj - potęga ujemna jedynki nadal daje jedynkę!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno pomijać pierwiastków i "skracać" zadania - trzeba sprawdzić, że podstawa pod \((\ldots)^0\) jest różna od zera. Gdyby była zerem, wyrażenie byłoby **niezdefiniowane** (bo \(0^0\) jest nieoznaczone).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Reguła potęgi \(a^0 = 1\)
Kluczowa obserwacja: wyrażenie w środku \((\sqrt[3]{729} + \sqrt[4]{256} + 2)^{0}\) - niezależnie od wartości podstawy (pod warunkiem, że jest różna od zera) - równa się \(1\).

Sprawdźmy, że podstawa jest dodatnia: \(\sqrt[3]{729} = 9\), \(\sqrt[4]{256} = 4\), suma \(9 + 4 + 2 = 15 > 0\). Zatem \(15^0 = 1\).

Podstawiamy:
\[\left(\dfrac{1}{1}\right)^{-2} = 1^{-2} = 1.\]

### Sposób 2 - Obliczenie krok po kroku
\(\sqrt[3]{729} = 9\) (bo \(9^3 = 729\)).
\(\sqrt[4]{256} = 4\) (bo \(4^4 = 256\)).
\(9 + 4 + 2 = 15\).
\(15^0 = 1\).
\(\tfrac{1}{1} = 1\).
\(1^{-2} = 1\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{1}{225}\):** ktoś obliczył \(15^{-2}\) - zapomniał o zerowej potędze w środku.
- **B. \(\tfrac{1}{15}\):** \(15^{-1}\), błąd wykładnika.
- **D. \(15\):** ktoś obliczył \(15^1\) zamiast \(15^0\).

**Pamiętaj:** \(a^0 = 1\) dla każdego \(a \ne 0\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/21)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F21)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2020-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Zmieszano 40 dag rodzynek w cenie 12 zł za kilogram oraz 60 dag pestek dyni w cenie 17 zł za kilogram. Ile kosztuje 1 kilogram tej mieszanki? 
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-2) Oblicz   3 3 4 3 3 3 log 27 log log 3  Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/2) — Zadanie 2. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia 43 -82 ∶24 jest równa A. 0 B. 10 C. 56 D. 60
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba (√32 -√2 ) 2 jest równa A. 16 B. 18 C. 30 D. 34 Liczba (√32 - √2)² jest rów

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_