# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Jeżeli \(A\) jest zdarzeniem losowym, a \(A'\) -- zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia \(A\) oraz zachodzi równość \(P(A) = 2 \cdot P(A')\), to

A. \(P(A) = \dfrac{2}{3}\)
B. \(P(A) = \dfrac{1}{2}\)
C. \(P(A) = \dfrac{1}{3}\)
D. \(P(A) = \dfrac{1}{6}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

\(P(A) = \dfrac{2}{3}\)

## Sposób 1 - układ równań z definicji zdarzenia przeciwnego

**Kluczowy fakt:** zdarzenie \(A\) i jego przeciwieństwo \(A'\) razem wyczerpują całą przestrzeń zdarzeń, więc ich prawdopodobieństwa sumują się do 1:

\[P(A) + P(A') = 1\]

**Z treści zadania** wiemy, że:

\[P(A) = 2 \cdot P(A')\]

Podstawiamy to do pierwszego równania. Zastępujemy \(P(A)\) wyrażeniem \(2 \cdot P(A')\):

\[2 \cdot P(A') + P(A') = 1\]

\[3 \cdot P(A') = 1\]

\[P(A') = \frac{1}{3}\]

Teraz wyznaczamy \(P(A)\):

\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3}}\]

## Sposób 2 - podstawienie i jedna niewiadoma

Oznaczmy \(P(A) = x\). Wtedy z własności zdarzenia przeciwnego:

\[P(A') = 1 - x\]

Z warunku zadania \(P(A) = 2 \cdot P(A')\) dostajemy:

\[x = 2(1 - x)\]

\[x = 2 - 2x\]

\[3x = 2\]

\[x = \frac{2}{3}\]

**Wynik:** \(P(A) = \dfrac{2}{3}\) ✓

**Weryfikacja:** \(P(A') = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\), a \(2 \cdot P(A') = 2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} = P(A)\) - zgadza się.

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)**:

\[P(A') = 1 - P(A)\]

czyli równoważnie \(P(A) + P(A') = 1\).

To jest **kluczowy wzór** użyty w obu sposobach - zdarzenie \(A\) i zdarzenie przeciwne \(A'\) zawsze mają prawdopodobieństwa sumujące się do 1, bo razem tworzą całą przestrzeń zdarzeń elementarnych.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń myśli, że \(P(A) = P(A') = \frac{1}{2}\), bo „połowa na połowę" - ignoruje warunek \(P(A) = 2 \cdot P(A')\) |
| C | Uczeń liczy \(P(A')\) poprawnie (\(\frac{1}{3}\)), ale przez pomyłkę podaje je jako \(P(A)\) - zamienia miejscami zdarzenie i jego przeciwieństwo |
| D | Uczeń dzieli 1 przez 6 bez żadnego uzasadnienia, lub błędnie wykonuje działania (np. \(\frac{2}{3} \div 4 = \frac{1}{6}\)) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \(P(A)\) z \(P(A')\) - w tym zadaniu to \(P(A)\) jest **dwa razy większe**, a nie mniejsze. Wiele osób poprawnie wylicza \(\frac{1}{3}\), ale podaje je jako odpowiedź, bo to ładna liczba (odpowiedź C).

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy \(P(A) + P(A') = 1\) - to szybka weryfikacja, że wynik jest sensowny. Żadne prawdopodobieństwo nie może być ujemne ani większe od 1.

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \(P(A) = 2 \cdot P(A')\) oznacza, że \(A\) jest **dwa razy bardziej prawdopodobne** niż \(A'\), a nie że \(P(A) = 2\) - pamiętaj, że prawdopodobieństwo zawsze należy do \(\langle 0, 1 \rangle\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Własność zdarzeń przeciwnych
\(P(A) + P(A') = 1\) (suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych).
Z treści: \(P(A) = 2P(A')\).

Podstawiamy \(P(A') = \tfrac{P(A)}{2}\):
\[P(A) + \dfrac{P(A)}{2} = 1\]
\[\dfrac{3P(A)}{2} = 1 \Rightarrow P(A) = \dfrac{2}{3}.\]

### Sposób 2 - Układ równań
\(\begin{cases} P(A) + P(A') = 1 \\ P(A) = 2P(A') \end{cases}\)

Podstawienie: \(2P(A') + P(A') = 1 \Rightarrow 3P(A') = 1 \Rightarrow P(A') = \tfrac{1}{3}\), a więc \(P(A) = \tfrac{2}{3}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(\tfrac{1}{2}\):** \(P(A) = P(A')\), nie spełnia \(P(A) = 2P(A')\).
- **C. \(\tfrac{1}{3}\):** wtedy \(P(A') = \tfrac{2}{3}\) - czyli \(P(A') = 2P(A)\), odwrotna relacja.
- **D. \(\tfrac{1}{6}\):** błędne podstawienie.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9) — Zadanie 9. (0-1) Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 9. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐, 𝑐, jest równa A. 9 B. 6 C. 4,5 D. 
- [Zadanie 81](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2010/zad/81) — Zadanie 81. (2 pkt) Średnia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x. 87

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_