# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Kombinatoryka

## Treść

Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?

A. \(100\)
B. \(90\)
C. \(45\)
D. \(20\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(45\)

## Sposób 1 - Kombinacje (wzór bezpośredni)

Wybieramy **2 graczy spośród 10**, przy czym kolejność nie ma znaczenia (wybieramy drużynę/parę, nie ustawiamy zawodników w kolejce).

To klasyczne zadanie na **kombinacje bez powtórzeń**.

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

Podstawiamy \(n = 10\), \(k = 2\):

\[
\binom{10}{2} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{2 \cdot \cancel{8!}} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = \mathbf{45}
\]

**Odpowiedź: 45 sposobów.**

## Sposób 2 - Rozumowanie przez zliczanie par

Każdy z **10 zawodników** może być dobrany z każdym z pozostałych **9 zawodników**. Na początku liczymy bez uwzględniania kolejności:

\[
10 \cdot 9 = 90
\]

Ale para \(\{A, B\}\) to to samo co para \(\{B, A\}\) - każdą parę policzyliśmy **dwa razy**. Dzielimy przez \(2\):

\[
\frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = \mathbf{45}
\]

To dokładnie ten sam wynik - i ta sama idea co w wzorze na kombinacje, tylko pokazana inaczej.

## Wzory z karty CKE

**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - kombinacje bez powtórzeń:
\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 dla \(n = 10\), \(k = 2\).

**Dział 4 (Silnia, s. 6)**:
\[
n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n
\]
Potrzebne do obliczenia \(\binom{10}{2}\), choć przy małych liczbach wystarczy skrót \(\frac{10 \cdot 9}{2}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A: \(100\) | Policzono \(10^2 = 100\) - wariacje z powtórzeniami. Zakłada, że można wybrać tego samego gracza dwa razy, co nie ma sensu. |
| B: \(90\) | Policzono \(10 \cdot 9 = 90\) - wariacje bez powtórzeń (z uwzględnieniem kolejności). Para \(\{A, B\}\) i \(\{B, A\}\) to ta sama para, więc trzeba jeszcze podzielić przez \(2!\). |
| D: \(20\) | Brak typowego wzoru prowadzącego do 20 w tym kontekście - możliwy błąd przy myleniu \(\binom{10}{2}\) z \(\binom{10}{8}\) i błędnym obliczeniu, lub pomylenie z innym zadaniem. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to użycie \(10 \cdot 9 = 90\) i zatrzymanie się tu - zapomniano podzielić przez \(2!\), bo kolejność wyboru nie ma znaczenia (para to para, nie kolejka).

> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli zadanie brzmiałoby "na ile sposobów można wybrać kapitana i wicekapitana spośród 10 zawodników", wtedy kolejność **miałaby** znaczenie i odpowiedź wynosiłaby \(90\). Kluczowe jest pytanie: czy ważne jest, kto "pierwszy", a kto "drugi"?

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) - kombinacje są symetryczne. \(\binom{10}{2} = \binom{10}{8} = 45\). Wybór 2 graczy to to samo co wskazanie 8 graczy, którzy **nie** zostają wybrani.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Kombinacje
Wybieramy 2 osoby z 10 bez względu na kolejność. Liczba sposobów to kombinacja:
\[\binom{10}{2} = \dfrac{10!}{2! \cdot 8!} = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = \dfrac{90}{2} = 45.\]

### Sposób 2 - Pary bez kolejności
Pierwszego gracza wybieramy na \(10\) sposobów, drugiego na \(9\) sposobów - daje \(90\) par **uporządkowanych**. Ale pary \((A, B)\) i \((B, A)\) są tym samym wyborem dwuosobowym, więc dzielimy przez \(2\):
\[\dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(100\):** \(10^2\) - tyle jest par z powtórzeniami i uporządkowanych.
- **B. \(90\):** wariacje bez powtórzeń - \(10 \cdot 9 = 90\) to pary **uporządkowane** (czyli kolejność wybierania ma znaczenie).
- **D. \(20\):** \(2 \cdot 10\) - bez sensu dla tego problemu.

**Pamiętaj:** gdy kolejność nie ma znaczenia → kombinacje \(\binom{n}{k}\). Gdy ma → wariacje \(V_n^k\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matura-matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28) — Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 500 , w których zapisie dziesiętnym występują tylko cy
- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (1 pkt) Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają? A. 10 B. 15 C. 20 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) Każdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu z pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2015-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 4? A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_