# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Funkcje, funkcja kwadratowa

## Treść

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^{2}+bx+c\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(b = -16\), \(c = 32\)

## Sposób 1 - Postać kanoniczna paraboli

Jeśli wiemy, że wierzchołek paraboli to \(W = (p, q) = (4, 0)\), możemy od razu zapisać funkcję w **postaci kanonicznej**:
\[f(x) = a(x - p)^2 + q\]

Podstawiamy \(a = 2\), \(p = 4\), \(q = 0\):
\[f(x) = 2(x - 4)^2 + 0 = 2(x-4)^2\]

Teraz rozwijamy nawiasy, korzystając ze wzoru \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\[f(x) = 2(x^2 - 8x + 16)\]
\[f(x) = 2x^2 - 16x + 32\]

Porównujemy z postacią ogólną \(f(x) = 2x^2 + bx + c\):

\[\boxed{b = -16, \quad c = 32}\]

## Sposób 2 - Wzory na współrzędne wierzchołka

Współrzędne wierzchołka paraboli \(f(x) = ax^2 + bx + c\) dane są wzorami:
\[p = -\frac{b}{2a}, \qquad q = -\frac{\Delta}{4a}\]

**Krok 1:** Z warunku \(p = 4\) wyznaczamy \(b\).

Podstawiamy \(a = 2\):
\[4 = -\frac{b}{2 \cdot 2} = -\frac{b}{4}\]
\[b = -16\]

**Krok 2:** Z warunku \(q = 0\) wyznaczamy \(c\).

Warunek \(q = 0\) oznacza, że \(\Delta = 0\):
\[\Delta = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 256 - 8c = 0\]
\[8c = 256\]
\[c = 32\]

**Wynik:** \(\boxed{b = -16, \quad c = 32}\)

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:
\[f(x) = a(x - p)^2 + q\]
gdzie wierzchołek paraboli to \(W = (p, q)\).

Użyliśmy tego w Sposobie 1 - znając wierzchołek \((4, 0)\) i współczynnik \(a = 2\), od razu zapiszemy postać kanoniczną i rozwijamy do postaci ogólnej.

Wzory na współrzędne wierzchołka (s. 8):
\[p = -\frac{b}{2a}, \qquad q = -\frac{\Delta}{4a}, \qquad \Delta = b^2 - 4ac\]

Użyliśmy w Sposobie 2 - wyznaczenie \(b\) z \(p = 4\) i \(c\) z \(q = 0\).

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Użyliśmy do rozwinięcia \((x-4)^2\) w Sposobie 1.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek \(W = (4, 0)\) leży na osi \(OX\), co oznacza, że \(\Delta = 0\) - parabola dotyka osi \(x\) w jednym punkcie. Nie mylić z brakiem miejsc zerowych!

> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyliczaniu \(b\) ze wzoru \(p = -\frac{b}{2a}\) łatwo zgubić **znak minus**. Wynik \(p = 4\) prowadzi do \(b = -16\), nie \(+16\)!

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 pamiętaj, żeby rozwinąć \(2(x-4)^2\), a nie tylko \((x-4)^2\) - czynnik \(2\) trzeba wnieść do środka po rozwinięciu nawiasu.

**Odpowiedź: \(b = -16, c = 32\)**

### Sposób 1 - Wzory na współrzędne wierzchołka
Dla \(f(x) = ax^2 + bx + c\): wierzchołek \((x_W, y_W) = \left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)\).

Z treści \(a = 2\), \(x_W = 4, y_W = 0\):
\[-\dfrac{b}{2 \cdot 2} = 4 \Rightarrow -\dfrac{b}{4} = 4 \Rightarrow b = -16.\]
\[-\dfrac{\Delta}{4 \cdot 2} = 0 \Rightarrow \Delta = 0.\]
Zatem \(b^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 0 \Rightarrow 256 - 8c = 0 \Rightarrow c = 32.\)

### Sposób 2 - Postać kanoniczna
Ponieważ \(y_W = 0\), parabola dotyka osi \(OX\) w punkcie \(x = 4\) (jedno miejsce zerowe - podwójne):
\[f(x) = 2(x - 4)^2 = 2(x^2 - 8x + 16) = 2x^2 - 16x + 32.\]
Porównując z \(2x^2 + bx + c\): \(b = -16, c = 32\).

### Sposób 3 - Postać kanoniczna ogólnie
\[f(x) = 2\left(x + \tfrac{b}{4}\right)^2 + c - \tfrac{b^2}{8}.\]
Wierzchołek \(\left(-\tfrac{b}{4}, c - \tfrac{b^2}{8}\right)\).
\(-\tfrac{b}{4} = 4 \Rightarrow b = -16\).
\(c - \tfrac{(-16)^2}{8} = 0 \Rightarrow c = \tfrac{256}{8} = 32\).

**Odpowiedź CKE:** \(b = -16\), \(c = 32\).

### Pułapki
- Jeśli zapisano \(x_W = -\tfrac{b}{a}\) (bez \(2a\)) - błąd we wzorze.
- Jeśli zapominamy, że \(y_W = 0 \Rightarrow\) podwójne miejsce zerowe \(\Rightarrow \Delta = 0\) - stracimy prostą drogę.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/3) — Dana jest funkcja \(f : R \to R\) określona wzorem \(f(x) = ax + 4\). a) Wyznacz wartość \(a\), dla której miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(-1\). b)
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-2) Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 jest prosta o równaniu 𝑥= -2. Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1. Ob
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) Funkcja kwadratowa 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 2. Ponadto 𝑓(0) = 8. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. EMAP-P0_100 Funkcja kwadratowa f ma 
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/6) — Funkcja f(x) = 9x + 16 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x [ - 16 9 ; + ) . P = (x_0, 5) należy do wykresu funkcji f . x_0 oraz wyznacz równanie sty

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_