# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż równanie \(9x^{3} + 18x^{2} - 4x - 8 = 0\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x = -2\), \(x = \frac{2}{3}\), \(x = -\frac{2}{3}\)

## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)

Zauważamy, że współczynniki tworzą pewien wzorzec: \(9, 18, -4, -8\). Stosunek \(\frac{9}{18} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}\) - to podpowiada grupowanie!

**Krok 1: Grupujemy parami**
\[9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = (9x^3 + 18x^2) + (-4x - 8)\]

**Krok 2: Wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy**
\[= 9x^2(x + 2) - 4(x + 2)\]

**Krok 3: Wyciągamy wspólny czynnik \((x+2)\)**
\[= (x + 2)(9x^2 - 4)\]

**Krok 4: Rozkładamy \(9x^2 - 4\) jako różnicę kwadratów** - bo \(9x^2 = (3x)^2\) i \(4 = 2^2\):
\[9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2)\]

**Krok 5: Pełny rozkład**
\[(x + 2)(3x - 2)(3x + 2) = 0\]

**Krok 6: Warunek iloczynu = 0 - zerujemy każdy czynnik**

\[x + 2 = 0 \implies \boxed{x = -2}\]
\[3x - 2 = 0 \implies \boxed{x = \frac{2}{3}}\]
\[3x + 2 = 0 \implies \boxed{x = -\frac{2}{3}}\]

## Sposób 2 - Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych + dzielenie wielomianu

Jeśli wielomian \(a_n x^n + \ldots + a_0\) ma wymierny pierwiastek \(\frac{p}{q}\) (w postaci nieskracalnej), to \(p \mid a_0\) i \(q \mid a_n\).

Tutaj \(a_0 = -8\), \(a_n = 9\), więc kandydaci to:
\[p \in \{\pm1, \pm2, \pm4, \pm8\}, \quad q \in \{1, 3, 9\}\]

Sprawdzamy \(x = -2\):
\[9(-2)^3 + 18(-2)^2 - 4(-2) - 8 = -72 + 72 + 8 - 8 = 0 \checkmark\]

Skoro \(x = -2\) jest pierwiastkiem, to \((x+2)\) jest dzielnikiem. Dzielimy:

\[9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 \div (x+2)\]

Schemat Hornera (lub dzielenie pisemne):

| | \(9\) | \(18\) | \(-4\) | \(-8\) |
| \(-2\) | \(9\) | \(18 + 9\cdot(-2) = 0\) | \(-4 + 0\cdot(-2) = -4\) | \(-8+(-4)(-2)=0\) |

Wynik: \(9x^2 + 0x - 4 = 9x^2 - 4\)

Rozkładamy resztę jako różnicę kwadratów:
\[9x^2 - 4 = (3x-2)(3x+2)\]

Otrzymujemy ten sam rozkład:
\[(x+2)(3x-2)(3x+2) = 0\]
\[\boxed{x = -2, \quad x = \frac{2}{3}, \quad x = -\frac{2}{3}}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Użyliśmy tego do rozkładu \(9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2)\) w obu sposobach.

Pozostałe kroki opierają się na elementarnej algebrze (wyciąganie przed nawias, warunek zerowania iloczynu) - bez dodatkowych wzorów z karty.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu pamiętaj o znaku! Z grupy \((-4x - 8)\) wyciągamy \(-4\), a nie \(+4\) - wtedy \(-4(x+2)\) jest poprawne. Błąd znaku niszczy grupowanie.

> ⚠️ **Uwaga:** \(9x^2 - 4\) to **różnica** kwadratów, nie suma - dlatego daje dwa pierwiastki. Suma kwadratów \(9x^2 + 4\) nie ma pierwiastków rzeczywistych!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o trzecim pierwiastku \(x = -2\)! Uczniowie często rozkładają \(9x^2 - 4\) i zapominają, że cały nawias \((x+2)\) też daje pierwiastek.

**Odpowiedź: \(x = -2\) lub \(x = -\dfrac{2}{3}\) lub \(x = \dfrac{2}{3}\)**

### Sposób 1 - Metoda grupowania
Grupujemy wyrazy po 2:
\[9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = (9x^3 + 18x^2) + (-4x - 8)\]
\[= 9x^2(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(9x^2 - 4).\]

Skąd mamy \((x + 2)(9x^2 - 4) = 0\), a ponieważ \(9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2)\):
\[(x + 2)(3x - 2)(3x + 2) = 0.\]

Zatem:
\[x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2,\]
\[3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3},\]
\[3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{2}{3}.\]

### Sposób 2 - Zgadywanie pierwiastka i dzielenie wielomianów
Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego (\(-8\)): \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\).
Dla \(x = -2\): \(9(-8) + 18(4) - 4(-2) - 8 = -72 + 72 + 8 - 8 = 0\) ✓.

Dzielimy wielomian przez \((x + 2)\) (np. schematem Hornera):
\[9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = (x + 2)(9x^2 - 4).\]
Z \(9x^2 - 4 = 0\) dostajemy \(x^2 = \tfrac{4}{9}\), więc \(x = \pm\tfrac{2}{3}\).

### Sposób 3 - Wzór skróconego mnożenia
\(9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2)\). Widać to od razu, gdy rozpoznamy różnicę kwadratów.

### Weryfikacja
Sprawdzamy \(x = \tfrac{2}{3}\): \(9 \cdot \tfrac{8}{27} + 18 \cdot \tfrac{4}{9} - 4 \cdot \tfrac{2}{3} - 8 = \tfrac{8}{3} + 8 - \tfrac{8}{3} - 8 = 0\) ✓.

### Pułapki
- Zapomnienie o rozłożeniu \(9x^2 - 4\) → tylko 2 pierwiastki.
- Niepoprawne grupowanie → brak wspólnego czynnika.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (5 pkt) Rozwiąż nierówność: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 3 3 3 3 log 1 log 5 log 1 x x x > Nr czynności 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Maks. liczba pkt 1 1 1 1 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-4) Rozwiąż nierówność |𝟐𝒙-𝟔| -|𝒙𝟐-𝟗| < 𝟎 Zapisz obliczenia. 5. 0-1- 2-3-4 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż nierówność |2x-6| - |x²-9| < 0 Zapisz ob
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-4) Rozwiąż nierówność |𝒙-𝟐| -𝟐⋅|𝒙+ 𝟑| < -𝟐 Zapisz obliczenia. 5. 0-1- 2-3-4 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż nierówność |x-2|-2⋅|x+3| < -2. Zapisz 
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Dane jest równanie 3𝑥+ 4 𝑥-1 = 𝑥+ 3 3𝑥 , gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (-∞, -𝟐 𝟑). Zapisz

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_