# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: inne, liczby

## Treść

Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^{2}\) przez \(7\) jest równa \(5\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Twierdzenie jest prawdziwe - dowód poniżej.

## Sposób 1 - Podstawienie postaci ogólnej (dowód algebraiczny)

**Punkt wyjścia:** Każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma postać:
\[k = 7n + 2, \quad \text{dla pewnej liczby całkowitej } n \in \mathbb{Z}\]

**Krok 1:** Obliczamy \(k^2\):
\[k^2 = (7n + 2)^2 = 49n^2 + 28n + 4\]

**Krok 2:** Wyłączamy \(7\) przed nawias:
\[k^2 = 7(7n^2 + 4n) + 4\]

Stąd wynika, że **\(k^2\) daje resztę \(4\) przy dzieleniu przez \(7\)**.

**Krok 3:** Obliczamy \(3k^2\):
\[3k^2 = 3 \cdot \bigl[7(7n^2 + 4n) + 4\bigr] = 21(7n^2 + 4n) + 12\]

**Krok 4:** Wyłączamy \(7\) z wyrazu \(12 = 7 + 5\):
\[3k^2 = 21(7n^2 + 4n) + 7 + 5 = 7\bigl(21n^2 + 12n + 1\bigr) + 5\]

**Wniosek:** Liczba \(3k^2\) jest postaci \(7m + 5\), gdzie \(m = 21n^2 + 12n + 1 \in \mathbb{Z}\).

**Zatem reszta z dzielenia \(3k^2\) przez \(7\) wynosi \(5\).** \(\blacksquare\)

## Sposób 2 - Arytmetyka modularna (zapis kongruencji)

To samo można zapisać elegancko językiem kongruencji.

**Dane:** \(k \equiv 2 \pmod{7}\)

**Krok 1:** Podnosimy obie strony kongruencji do kwadratu:
\[k^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{7}\]

(Operacja dozwolona - mnożenie kongruencji po tych samych modułach jest zachowuje kongruencję.)

**Krok 2:** Mnożymy obie strony przez \(3\):
\[3k^2 \equiv 3 \cdot 4 \equiv 12 \pmod{7}\]

**Krok 3:** Redukujemy \(12\) modulo \(7\):
\[12 = 7 + 5, \quad \text{więc } 12 \equiv 5 \pmod{7}\]

Zatem:
\[3k^2 \equiv 5 \pmod{7}\]

**Reszta z dzielenia \(3k^2\) przez \(7\) wynosi \(5\).** \(\blacksquare\)

**Weryfikacja na przykładach** (sprawdzenie, nie dowód!):

| \(n\) | \(k = 7n+2\) | \(k^2\) | \(3k^2\) | Reszta z \(3k^2 \div 7\) |
| \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(12\) | \(12 = 1 \cdot 7 + \mathbf{5}\) ✓ |
| \(1\) | \(9\) | \(81\) | \(243\) | \(243 = 34 \cdot 7 + \mathbf{5}\) ✓ |
| \(-1\) | \(-5\) | \(25\) | \(75\) | \(75 = 10 \cdot 7 + \mathbf{5}\) ✓ |

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE.

Korzystamy z:
- **Wzoru skróconego mnożenia** \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) (Dział 6, s. 7) - przy rozwinięciu \((7n+2)^2\) w Sposobie 1.
- Podstawowej własności dzielenia z resztą (definicja: \(k = 7n + r\), \(0 \leq r < 7\)) - ta definicja nie jest na karcie, ale jest oczywistą bazą.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzenie kilku przykładów (np. dla \(k = 2, 9, -5\)) to **nie jest dowód** - to tylko weryfikacja. Dowód musi działać dla **każdego** \(k\) danej postaci, dlatego zapisujemy \(k = 7n + 2\) z parametrem \(n\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwinięciu \((7n+2)^2\) łatwo zapomnieć o wyrazie \(28n\). Sprawdź: \((7n)^2 + 2 \cdot 7n \cdot 2 + 2^2 = 49n^2 + 28n + 4\). Oba wyrazy \(49n^2\) i \(28n\) są podzielne przez \(7\) - to kluczowa obserwacja.

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 możemy mnożyć kongruencje (po tej samej podstawie), ale **nie możemy dzielić** bez sprawdzenia warunków. Tu tylko mnożymy - jesteśmy bezpieczni.

**Dowód - reszta \(= 5\)**

### Sposób 1 - Podstawienie i wzór skróconego mnożenia
Ponieważ \(k\) daje resztę \(2\) przy dzieleniu przez \(7\), istnieje taka liczba całkowita \(m\), że:
\[k = 7m + 2.\]

Wtedy:
\[k^2 = (7m + 2)^2 = 49m^2 + 28m + 4.\]

Mnożąc przez \(3\):
\[3k^2 = 3(49m^2 + 28m + 4) = 147m^2 + 84m + 12.\]

Zauważmy, że:
\[147m^2 = 7 \cdot 21m^2,\quad 84m = 7 \cdot 12m,\quad 12 = 7 + 5.\]

Zatem:
\[3k^2 = 7 \cdot 21m^2 + 7 \cdot 12m + 7 + 5 = 7(21m^2 + 12m + 1) + 5.\]

Ponieważ \(21m^2 + 12m + 1\) jest liczbą całkowitą, \(3k^2\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(\boxed{5}\). ∎

### Sposób 2 - Kongruencje
Z założenia: \(k \equiv 2 \pmod{7}\).
Podnosząc do kwadratu: \(k^2 \equiv 4 \pmod{7}\).
Mnożąc przez 3: \(3k^2 \equiv 12 \equiv 5 \pmod{7}\) (bo \(12 = 7 + 5\)). ∎

### Sposób 3 - Intuicja
Jeśli \(k\) daje resztę \(2\), to \(k^2\) daje resztę \(2^2 = 4\), więc \(3k^2\) daje resztę \(3 \cdot 4 = 12\), co modulo \(7\) to \(5\). ∎

### Pułapki
- Zapomnienie o tym, że \(m\) jest całkowita → brak argumentu, że \(21m^2 + 12m + 1\) też jest całkowita.
- Mylenie zapisu \(12 \equiv 5 \pmod 7\): \(12 = 7 \cdot 1 + 5\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (0-2) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒌 reszta z dzielenia liczby 𝟒𝟗𝒌𝟐+ 𝟕𝒌-𝟐 przez 𝟕 jest równa 𝟓. MMAP-P0_100 Wykaż, że dla każdej liczby cał

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_