# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Funkcje

## Treść

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\), który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem \(y = \frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 0\).
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji \(f\) są większe od 0.
b) Podaj miejsca zerowe funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x) = f(x - 3)\).

rysunek: wykres hiperboli \(y = \dfrac{1}{x-2} - 1\) - asymptota pionowa \(x = 2\), asymptota pozioma \(y = -1\); prawa gałąź idzie w górę powyżej \(y = -1\) dla \(x > 2\), lewa gałąź w dół poniżej \(y = -1\) dla \(x < 2\); funkcja \(f\) zeruje się w \(x = 3\)

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji \(f\) są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x) = f(x-3)\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

**a)** Zbiór argumentów, dla których \(f(x) > 0\), to przedział \((2, 3)\).

**b)** Miejsce zerowe funkcji \(g(x) = f(x-3)\) to \(x = 6\).

## Sposób 1 - wyznaczenie wzoru funkcji \(f\) i obliczenie algebraiczne

**Krok 1. Odczytanie wzoru funkcji \(f\) z rysunku.**

Funkcja \(f\) powstała przez przesunięcie hiperboli \(y = \frac{1}{x}\). Z rysunku odczytujemy:
- asymptota pionowa: \(x = 2\) → przesunięcie w prawo o 2
- asymptota pozioma: \(y = -1\) → przesunięcie w dół o 1

Zatem:
\[f(x) = \frac{1}{x - 2} - 1\]

**Krok 2. Weryfikacja miejsca zerowego widocznego na rysunku.**

\[f(x) = 0 \implies \frac{1}{x-2} - 1 = 0 \implies \frac{1}{x-2} = 1 \implies x - 2 = 1 \implies x = 3\]

Zgadza się z rysunkiem - prawa gałąź przecina oś \(OX\) w punkcie \(x = 3\). ✓

**Część a) - kiedy \(f(x) > 0\)?**

Rozwiązujemy nierówność:
\[\frac{1}{x-2} - 1 > 0 \implies \frac{1}{x-2} > 1\]

Przenosimy wszystko na lewo i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\[\frac{1}{x-2} - 1 > 0 \implies \frac{1 - (x-2)}{x-2} > 0 \implies \frac{3 - x}{x - 2} > 0\]

Ułamek jest dodatni, gdy licznik i mianownik mają **ten sam znak**.

| Przedział | \(3 - x\) | \(x - 2\) | Iloraz |
| \(x < 2\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(2 < x < 3\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) ✓ |
| \(x > 3\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |

**Zbiór argumentów, dla których \(f(x) > 0\):**
\[\boxed{(2,\ 3)}\]

**Część b) - miejsce zerowe funkcji \(g(x) = f(x-3)\)**

Szukamy \(x\) takie, że \(g(x) = 0\):
\[g(x) = 0 \implies f(x - 3) = 0\]

Wiemy z części (a), że \(f\) zeruje się dokładnie dla \(x = 3\). Zatem potrzebujemy:
\[x - 3 = 3 \implies x = 6\]

**Miejsce zerowe funkcji \(g\) to \(\boxed{x = 6}\).**

## Sposób 2 - interpretacja graficzna (przesunięcie wykresu)

**Część a) - bezpośredni odczyt z wykresu:**

Patrzymy, gdzie wykres \(f\) leży **powyżej osi \(OX\)** (czyli \(f(x) > 0\)):
- Prawa gałąź (dla \(x > 2\)) jest powyżej osi \(OX\) tylko między asymptotą \(x = 2\) a miejscem zerowym \(x = 3\).
- Lewa gałąź (dla \(x < 2\)) leży całkowicie poniżej asymptoty poziomej \(y = -1\), więc zawsze \(f(x) < 0\).

Odpowiedź: \((2, 3)\). ✓

**Część b) - interpretacja graficzna:**

Funkcja \(g(x) = f(x-3)\) to wykres \(f\) **przesunięty w prawo o 3 jednostki**.

Miejsce zerowe \(f\) to \(x = 3\). Po przesunięciu w prawo o 3:
\[x_0 = 3 + 3 = 6\]

Miejsce zerowe \(g\) to \(x = 6\). ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Zadanie opiera się na:
- definicji funkcji wymiernej \(f(x) = \frac{1}{x-2} - 1\) (odczyt z wykresu),
- rozwiązaniu nierówności wymiernej (znakowaniu ułamka),
- własności przesunięcia wykresu funkcji.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności \(\frac{1}{x-2} > 1\) **NIE wolno** od razu mnożyć obu stron przez \((x-2)\) bez uwzględnienia znaku! Mnożenie przez wyrażenie ujemne odwraca nierówność. Bezpieczniej przenieść wszystko na lewo i zbadać znak ułamka.

> ⚠️ **Uwaga:** Przedział w odpowiedzi a) musi być **otwarty**: \((2, 3)\), nie \(\langle 2, 3 \rangle\). W \(x = 2\) funkcja nie jest określona (asymptota), a w \(x = 3\) wynosi dokładnie 0 (nie jest większa od 0).

> ⚠️ **Uwaga:** W części b) \(g(x) = f(x-3)\) to przesunięcie **w prawo** o 3 (nie w lewo!). Uczniowie często mylą kierunek: wzór \(f(x-3)\) przesuwa wykres w prawo, \(f(x+3)\) - w lewo.

**Odpowiedź: a) \(x \in (2, 3)\); b) miejsce zerowe \(x = 6\)**

### Część a) - odczyt z wykresu
Z rysunku widzimy, że funkcja \(f\) jest przesuniętym wykresem \(y = \tfrac{1}{x}\):
- asymptota pionowa: \(x = 2\),
- asymptota pozioma: \(y = -1\),
- wzór: \(f(x) = \dfrac{1}{x-2} - 1\).

\(f(x) > 0\) oznacza, że wykres leży nad osią \(OX\). Z wykresu widać, że dzieje się to tylko na prawej gałęzi dla \(x\) pomiędzy asymptotą \(x = 2\) a miejscem zerowym:
\[f(x) = 0 \iff \dfrac{1}{x-2} = 1 \iff x - 2 = 1 \iff x = 3.\]

Zatem \(f(x) > 0\) dla \(x \in (2, 3)\) (przedział otwarty - zero i asymptota wykluczone).

### Część b) - miejsce zerowe funkcji \(g\)
Funkcja \(g(x) = f(x-3)\) to wykres \(f\) przesunięty o \(3\) jednostki w **prawo**.

Miejsce zerowe \(f\) to \(x = 3\). Miejsce zerowe \(g\) to takie \(x\), że \(g(x) = f(x-3) = 0\), czyli \(x - 3 = 3\), a więc:
\[x = 6.\]

### Sposób 2 - Wzór
\(g(x) = f(x-3) = \dfrac{1}{(x-3)-2} - 1 = \dfrac{1}{x-5} - 1\).
Miejsce zerowe: \(\dfrac{1}{x-5} = 1 \Rightarrow x - 5 = 1 \Rightarrow x = 6\).

### Pułapki
- Podpunkt a: przedział musi być **otwarty** - nie zawiera \(2\) (asymptota) ani \(3\) (miejsce zerowe, tam \(f = 0\), nie \(> 0\)).
- Podpunkt b: \(f(x-3)\) to przesunięcie w **prawo** o \(3\) (nie w lewo!).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11.3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.3) — Zadanie 11.3. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział 
- [Zadanie 12.2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.2) — Zadanie 12.2. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest prz
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Funkcje 𝑔 oraz ℎ są okre
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/20) — Zadanie 20. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Ta funkcja jest określon

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_