# Matematyka — zadanie 30 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/30 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa) - rok: 2010 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 2 - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo ## Treść Ze zbioru liczb \(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o \(4\) lub \(6\). ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(\frac{3}{32}\) ## Sposób 1 - Wypisanie sprzyjających par **Przestrzeń zdarzeń elementarnych:** Losujemy ze zwracaniem - każde z dwóch losowań jest niezależne, wynik może być dowolną liczbą ze zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Łączna liczba możliwych par \((a, b)\) (gdzie \(a\) = pierwsza, \(b\) = druga): \[|\Omega| = 8 \times 8 = 64\] **Zdarzenie \(A\):** pierwsza liczba jest większa od drugiej o \(4\) lub o \(6\), czyli: \[a - b = 4 \quad \text{lub} \quad a - b = 6\] **Szukam par \((a, b)\) takich, że \(a - b = 4\):** \(a = b + 4\), przy czym \(a, b \in \{1, \ldots, 8\}\): | \(b\) | \(a = b+4\) | Para | | 1 | 5 | (5, 1) ✓ | | 2 | 6 | (6, 2) ✓ | | 3 | 7 | (7, 3) ✓ | | 4 | 8 | (8, 4) ✓ | | 5 | 9 | - poza zbiorem | Liczba par: **4** **Szukam par \((a, b)\) takich, że \(a - b = 6\):** \(a = b + 6\): | \(b\) | \(a = b+6\) | Para | | 1 | 7 | (7, 1) ✓ | | 2 | 8 | (8, 2) ✓ | | 3 | 9 | - poza zbiorem | Liczba par: **2** **Zdarzenia te są rozłączne** (para nie może jednocześnie spełniać \(a - b = 4\) i \(a - b = 6\)). Łączna liczba par sprzyjających: \[|A| = 4 + 2 = 6\] **Prawdopodobieństwo:** \[\boxed{P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja przez zliczanie „od strony \(a\)" Zamiast iść po \(b\), idę po \(a\) i pytam: dla której wartości \(a\) istnieje \(b \in \{1,\ldots,8\}\) taki, że \(a - b \in \{4, 6\}\)? Warunki: \(b = a - 4\) lub \(b = a - 6\), przy czym \(b \geq 1\). | \(a\) | \(b = a-4\) (w zbiorze?) | \(b = a-6\) (w zbiorze?) | Liczba par | | 1 | \(-3\) - nie | \(-5\) - nie | 0 | | 2 | \(-2\) - nie | \(-4\) - nie | 0 | | 3 | \(-1\) - nie | \(-3\) - nie | 0 | | 4 | \(0\) - nie | \(-2\) - nie | 0 | | 5 | \(1\) ✓ | \(-1\) - nie | 1 | | 6 | \(2\) ✓ | \(0\) - nie | 1 | | 7 | \(3\) ✓ | \(1\) ✓ | 2 | | 8 | \(4\) ✓ | \(2\) ✓ | 2 | Łącznie: \(0+0+0+0+1+1+2+2 = 6\) par sprzyjających. \[P(A) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}\] Wynik zgodny z Metodą 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne: \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\] Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio: \(|\Omega| = 64\), \(|A| = 6\). **Dział 14 (s. 29)** - zdarzenia rozłączne: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] Skorzystaliśmy, że zdarzenia „różnica = 4" i „różnica = 6" są rozłączne, więc ich liczebności możemy dodać. ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** To losowanie **ze zwracaniem** - obie liczby mogą być takie same (np. wylosowanie 3 i 3 jest możliwe), a liczba elementów przestrzeni to \(8 \times 8 = 64\), nie \(\binom{8}{2} = 28\). Bez zwracania wynik byłby inny! > ⚠️ **Uwaga:** Zdarzenie dotyczy kolejności - para \((5, 1)\) to „pierwsza 5, druga 1" i to spełnia warunek (różnica +4). Para \((1, 5)\) NIE spełnia warunku (różnica wynosi \(-4\), a nie \(+4\)). Kolejność ma znaczenie! > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć jedną z par przy \(a = 7\) lub \(a = 8\), gdzie spełnione są **oba** warunki jednocześnie (\(a - b = 4\) i \(a - b = 6\) dla różnych \(b\)). Każdy taki przypadek daje **dwie** pary, nie jedną. **Odpowiedź: \(P(A) = \dfrac{3}{32}\)** ### Sposób 1 - Metoda klasyczna Zdarzenia elementarne: uporządkowane pary \((a, b)\), gdzie \(a, b \in \{1, 2, \ldots, 8\}\). Losowanie ze zwracaniem: \[|\Omega| = 8 \cdot 8 = 64.\] **Zdarzenia sprzyjające** - \(a - b = 4\) lub \(a - b = 6\): - \(a - b = 4\): \((5,1), (6,2), (7,3), (8,4)\) - \(4\) pary. - \(a - b = 6\): \((7,1), (8,2)\) - \(2\) pary. Razem: \(|A| = 4 + 2 = 6\). \[P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{6}{64} = \dfrac{3}{32}.\] ### Sposób 2 - Tabela Tworzymy tabelę \(8 \times 8\) i zaznaczamy pola, gdzie różnica \(a - b \in \{4, 6\}\): \((5,1), (6,2), (7,3), (8,4), (7,1), (8,2)\) - \(6\) zaznaczonych pól z \(64\). Stąd \(P(A) = \tfrac{6}{64} = \tfrac{3}{32}\). ### Sposób 3 - Drzewko Dwa losowania niezależne z prawdopodobieństwem \(\tfrac{1}{8}\) każde. Suma po wszystkich korzystnych gałęziach: \(6 \cdot \tfrac{1}{8} \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{6}{64} = \tfrac{3}{32}\). ### Weryfikacja \(\tfrac{3}{32} = 0{,}09375 = 9{,}375\%\). ### Pułapki - Niejednoznaczność „pierwsza większa od drugiej o \(4\) lub \(6\)": oznacza \(a - b = 4\) lub \(a - b = 6\) (różnica dodatnia). - Nie wolno pomylić z różnicą modułową \(|a-b|\) (byłoby więcej par). - Zwracanie kluczowe - gdyby bez zwracania, \(|\Omega| = 56\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/30) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F30) ## Podobne zadania - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-3) Sklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia podczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do klienta jest - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (0-3) W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opako - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (0-3) Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe 0, - [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jedne _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_