# Matematyka — zadanie 32 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/32 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa) - rok: 2010 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 4 - działy: Stereometria ## Treść Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(198\). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1:2:3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(3\sqrt{14}\) ## Sposób 1 - Podstawienie przez iloraz krawędzi **Oznaczamy krawędzie** wychodzące z jednego wierzchołka jako \(a\), \(2a\), \(3a\) (zgodnie ze stosunkiem \(1:2:3\)). **Obliczamy pole powierzchni całkowitej** prostopadłościanu: \[P_c = 2(ab + bc + ca)\] Podstawiamy nasze krawędzie: \[P_c = 2(a \cdot 2a + 2a \cdot 3a + a \cdot 3a)\] \[P_c = 2(2a^2 + 6a^2 + 3a^2)\] \[P_c = 2 \cdot 11a^2 = 22a^2\] **Korzystamy z warunku** \(P_c = 198\): \[22a^2 = 198\] \[a^2 = \frac{198}{22} = 9\] \[a = 3\] **Długości krawędzi:** \[a = 3, \quad b = 2a = 6, \quad c = 3a = 9\] **Obliczamy przekątną** prostopadłościanu wzorem: \[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{3^2 + 6^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 36 + 81} = \sqrt{126}\] Upraszczamy: \[\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}\] **Długość przekątnej prostopadłościanu wynosi \(3\sqrt{14}\).** ## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie pola Mamy krawędzie \(3, 6, 9\). Sprawdzamy pole powierzchni całkowitej: \[P_c = 2(3 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + 3 \cdot 9) = 2(18 + 54 + 27) = 2 \cdot 99 = 198\checkmark\] Pole zgadza się z warunkiem zadania. Przekątna (ze wzoru na przekątną prostopadłościanu): \[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{9 + 36 + 81} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}\] Można też sprawdzić dwuetapowo, przez geometrię. Przekątna podłogi prostokąta \(3 \times 6\): \[d_p = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\] Następnie z trójkąta prostokątnego o ramionach \(d_p\) i \(c = 9\): \[d = \sqrt{d_p^2 + c^2} = \sqrt{45 + 81} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}\checkmark\] ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: \[P_c = 2(ab + bc + ca)\] Użyliśmy tego do znalezienia wartości parametru \(a\). **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość i wymiary brył (prostopadłościan: \(V = abc\)). Karta nie podaje wprost wzoru na przekątną, ale wynika on z trzykrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa. **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa: \(a^2 + b^2 = c^2\), zastosowane dwukrotnie do wyznaczenia przekątnej przestrzennej. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Stosunki \(1:2:3\) oznaczają krawędzie \(a, 2a, 3a\) - nie \(1, 2, 3\)! Często uczniowie wstawiają od razu \(1, 2, 3\) i obliczają \(P_c = 2(2+6+3) = 22 \neq 198\), a potem są zdezorientowani, że nie pasuje. > ⚠️ **Uwaga:** Przekątna prostopadłościanu to \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\), a **nie** \(a + b + c\) ani \(\sqrt{a^2 + b^2}\) (to byłaby przekątna tylko jednej ściany). > ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \(\sqrt{126}\) - sprawdź, czy \(126 = 9 \cdot 14\), więc \(\sqrt{126} = 3\sqrt{14}\). Nie zostawiaj odpowiedzi jako \(\sqrt{126}\) bez uproszczenia - egzaminatorzy mogą odjąć punkty. **Odpowiedź: \(d = 3\sqrt{14}\)** ### Sposób 1 - Parametryzacja krawędzi Z warunku \(x : y : z = 1 : 2 : 3\) przyjmujemy: \[x = t,\quad y = 2t,\quad z = 3t, \quad t > 0.\] **Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:** \[P_c = 2(xy + xz + yz) = 2(t \cdot 2t + t \cdot 3t + 2t \cdot 3t) = 2(2t^2 + 3t^2 + 6t^2) = 22t^2.\] Z warunku \(22t^2 = 198\): \[t^2 = 9 \Rightarrow t = 3\ (t > 0).\] Krawędzie: \(x = 3, y = 6, z = 9\). ### Przekątna prostopadłościanu Z twierdzenia Pitagorasa dwukrotnie: \[d^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 9 + 36 + 81 = 126.\] \[d = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}.\] ### Sposób 2 - Przekątna w zmiennej \(x\) \(d = \sqrt{x^2 + (2x)^2 + (3x)^2} = \sqrt{14x^2} = x\sqrt{14}\). Dla \(x = 3\): \(d = 3\sqrt{14}\). ### Weryfikacja numeryczna \(\sqrt{14} \approx 3{,}742\), więc \(d \approx 11{,}22\). Sprawdzamy pole: \(2(3 \cdot 6 + 3 \cdot 9 + 6 \cdot 9) = 2(18 + 27 + 54) = 2 \cdot 99 = 198\) ✓. ### Pułapki - Interpretacja stosunków: \(x, 2x, 3x\) (a nie \(x, \tfrac{1}{2}x, \tfrac{1}{3}x\) itp.). - Wzór na \(P_c\): \(2(xy + xz + yz)\) - trzy różne pary ścian, każda po \(2\) ściany tej samej wielkości. - Przekątna przestrzenna: \(d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) (nie \(x + y + z\)). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/32) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F32) ## Podobne zadania - [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-4) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościa - [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka. EMAP-P0_100 - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Dany jest stożek o objętości 8π , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożk - [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-3) Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°. Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia. 25. 0-1- 2-3 MMAP-P0_10 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_