# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Równania i nierówności, średnia, statystyka

## Treść

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o \(1 \frac{\text{km}}{\text{h}}\) mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: prędkość wchodzenia = \(3{,}5 \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\)

## Sposób 1 - równanie z prędkością schodzenia

**Wprowadzamy zmienną.** Niech \(v\) oznacza średnią prędkość schodzenia ze wzgórza \(\left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]\).

Wtedy prędkość wchodzenia wynosi \((v-1) \frac{\text{km}}{\text{h}}\).

**Przeliczamy czas całkowity:**
\[1 \text{ h } 4 \text{ min} = 1\frac{4}{60} \text{ h} = 1\frac{1}{15} \text{ h} = \frac{16}{15} \text{ h}\]

**Budujemy równanie** (czas = droga ÷ prędkość):
\[\frac{2{,}1}{v-1} + \frac{2{,}1}{v} = \frac{16}{15}\]

Zapisujemy \(2{,}1 = \frac{21}{10}\) i mnożymy obie strony przez \(10v(v-1)\):

\[21v + 21(v-1) = \frac{16}{15} \cdot 10v(v-1)\]

\[21v + 21v - 21 = \frac{32}{3}v(v-1)\]

Mnożymy przez \(3\):

\[126v - 63 = 32v(v-1)\]

\[126v - 63 = 32v^2 - 32v\]

\[32v^2 - 158v + 63 = 0\]

**Obliczamy deltę:**
\[\Delta = 158^2 - 4 \cdot 32 \cdot 63 = 24964 - 8064 = 16900\]

\[\sqrt{\Delta} = \sqrt{16900} = 130\]

**Pierwiastki:**
\[v_1 = \frac{158 + 130}{64} = \frac{288}{64} = 4{,}5 \quad \frac{\text{km}}{\text{h}}\]
\[v_2 = \frac{158 - 130}{64} = \frac{28}{64} = 0{,}4375 \quad \frac{\text{km}}{\text{h}}\]

**Sprawdzamy dziedzinę:** prędkość wchodzenia \(= v - 1\) musi być dodatnia.

- Dla \(v_1 = 4{,}5\): prędkość wchodzenia \(= 3{,}5 > 0\) ✓
- Dla \(v_2 \approx 0{,}44\): prędkość wchodzenia \(\approx -0{,}56 < 0\) ✗ - odrzucamy

**Odpowiedź:** prędkość schodzenia \(= 4{,}5 \frac{\text{km}}{\text{h}}\), prędkość wchodzenia:
\[\boxed{v - 1 = 3{,}5 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}}\]

## Sposób 2 - zmienna bezpośrednio na prędkości wchodzenia

Niech \(x\) oznacza prędkość wchodzenia \(\left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]\), wtedy prędkość schodzenia \(= (x+1) \frac{\text{km}}{\text{h}}\).

\[\frac{2{,}1}{x} + \frac{2{,}1}{x+1} = \frac{16}{15}\]

Mnożymy przez \(30x(x+1)\):

\[63(x+1) + 63x = 32x(x+1)\]

\[63x + 63 + 63x = 32x^2 + 32x\]

\[126x + 63 = 32x^2 + 32x\]

\[32x^2 - 94x - 63 = 0\]

\[\Delta = 94^2 + 4 \cdot 32 \cdot 63 = 8836 + 8064 = 16900, \quad \sqrt{\Delta} = 130\]

\[x_1 = \frac{94 + 130}{64} = \frac{224}{64} = 3{,}5 \quad \frac{\text{km}}{\text{h}} \quad \checkmark\]

\[x_2 = \frac{94 - 130}{64} = \frac{-36}{64} < 0 \quad \text{(odrzucamy)}\]

**Prędkość wchodzenia = \(3{,}5 \frac{\text{km}}{\text{h}}\)** - wynik zgodny z Metodą 1.

**Weryfikacja:**
\[\text{Czas w górę: } \frac{2{,}1}{3{,}5} = 0{,}6 \text{ h} = 36 \text{ min}\]
\[\text{Czas w dół: } \frac{2{,}1}{4{,}5} = \frac{7}{15} \text{ h} \approx 28 \text{ min}\]
\[36 \text{ min} + 28 \text{ min} = 64 \text{ min} = 1 \text{ h } 4 \text{ min} \quad \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta = b^2 - 4ac\]
Użyliśmy go do rozwiązania równania \(32v^2 - 158v + 63 = 0\) (Sposób 1) oraz \(32x^2 - 94x - 63 = 0\) (Sposób 2).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przelicz minuty na godziny przed podstawieniem do wzoru! \(1 \text{ h } 4 \text{ min} = \frac{16}{15} \text{ h}\), **nie** \(1{,}4 \text{ h}\) ani \(1{,}04 \text{ h}\) - to najczęstszy błąd.

> ⚠️ **Uwaga:** Równanie daje dwa pierwiastki - zawsze sprawdź dziedzinę. Prędkość musi być **dodatnia**, a skoro prędkość wchodzenia \(= v - 1\), to \(v > 1\). Pierwiastek \(v_2 \approx 0{,}44\) daje ujemną prędkość wchodzenia - fizycznie bez sensu.

> ⚠️ **Uwaga:** Czas wchodzenia i schodzenia to **nie to samo** - droga jest taka sama (2,1 km), ale prędkości różne, więc czasy też różne. Nie dziel 64 minut po równo!

**Odpowiedź: prędkość wchodzenia = \(3{,}5\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\)**

### Ustalenia
- Droga jednostronna: \(s = 2{,}1\) km.
- Łączny czas: \(1\) h \(4\) min = \(1 + \tfrac{4}{60}\) h = \(\tfrac{64}{60}\) h = \(\tfrac{16}{15}\) h.
- Niech \(v\) - prędkość schodzenia (km/h), wtedy \(v - 1\) - prędkość wchodzenia.

### Sposób 1 - Czas = droga / prędkość
Czas wchodzenia: \(t_1 = \dfrac{2{,}1}{v-1}\).
Czas schodzenia: \(t_2 = \dfrac{2{,}1}{v}\).

Równanie:
\[\dfrac{2{,}1}{v-1} + \dfrac{2{,}1}{v} = \dfrac{16}{15}.\]

Mnożymy obie strony przez \(v(v-1)\):
\[2{,}1v + 2{,}1(v-1) = \dfrac{16}{15}v(v-1)\]
\[4{,}2v - 2{,}1 = \dfrac{16}{15}(v^2 - v).\]

Mnożymy przez \(15\):
\[63v - 31{,}5 = 16v^2 - 16v\]
\[16v^2 - 79v + 31{,}5 = 0\]
\[32v^2 - 158v + 63 = 0.\]

\(\Delta = (-158)^2 - 4 \cdot 32 \cdot 63 = 24964 - 8064 = 16900.\)
\(\sqrt{\Delta} = 130.\)
\[v_1 = \dfrac{158 - 130}{64} = \dfrac{28}{64} = \dfrac{7}{16},\quad v_2 = \dfrac{158 + 130}{64} = \dfrac{288}{64} = \dfrac{9}{2}.\]

**Odrzucamy** \(v_1 = \tfrac{7}{16}\) - wtedy prędkość wchodzenia \(v - 1 = \tfrac{7}{16} - 1 < 0\) (ujemna, niemożliwe).

Zostaje \(v_2 = 4{,}5\). Prędkość wchodzenia:
\[v - 1 = 4{,}5 - 1 = 3{,}5\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}.\]

### Sposób 2 - Weryfikacja
Prędkość wchodzenia: \(3{,}5\) km/h → czas \(\tfrac{2{,}1}{3{,}5} = 0{,}6\) h = \(36\) min.
Prędkość schodzenia: \(4{,}5\) km/h → czas \(\tfrac{2{,}1}{4{,}5} \approx 0{,}4\overline{6}\) h = \(28\) min.
Suma: \(36 + 28 = 64\) min = \(1\) h \(4\) min ✓.

### Pułapki
- Konieczność odrzucenia pierwiastka dającego ujemną prędkość wchodzenia.
- Poprawna zamiana \(1\) h \(4\) min na \(\tfrac{16}{15}\) h (a nie \(1{,}04\) h).
- Sprawdzenie jednostek na końcu: wynik w km/h.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (5 pkt) Rozwiąż nierówność: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 3 3 3 3 log 1 log 5 log 1 x x x > Nr czynności 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Maks. liczba pkt 1 1 1 1 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-4) Rozwiąż nierówność |𝟐𝒙-𝟔| -|𝒙𝟐-𝟗| < 𝟎 Zapisz obliczenia. 5. 0-1- 2-3-4 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż nierówność |2x-6| - |x²-9| < 0 Zapisz ob
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-4) Rozwiąż nierówność |𝒙-𝟐| -𝟐⋅|𝒙+ 𝟑| < -𝟐 Zapisz obliczenia. 5. 0-1- 2-3-4 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż nierówność |x-2|-2⋅|x+3| < -2. Zapisz 
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Dane jest równanie 3𝑥+ 4 𝑥-1 = 𝑥+ 3 3𝑥 , gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (-∞, -𝟐 𝟑). Zapisz

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_