# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Funkcje, funkcja liniowa

## Treść

Funkcja liniowa \(f(x) = (m^{2} - 4)x + 2\) jest malejąca, gdy

A. \(m \in \{-2, 2\}\)
B. \(m \in (-2, 2)\)
C. \(m \in (-\infty, -2)\)
D. \(m \in (2, +\infty)\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\(m \in (-2, 2)\)

## Sposób 1 - Warunek malejącości funkcji liniowej

Funkcja liniowa \(f(x) = ax + b\) jest **malejąca**, gdy jej współczynnik kierunkowy spełnia:
\[a < 0\]

W naszym zadaniu współczynnikiem kierunkowym jest \(m^2 - 4\), więc stawiamy warunek:
\[m^2 - 4 < 0\]

Rozwiązujemy nierówność:
\[m^2 < 4\]
\[m^2 - 4 < 0\]
\[(m - 2)(m + 2) < 0\]

Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy jeden jest dodatni, a drugi ujemny. Miejsca zerowe to \(m = -2\) i \(m = 2\).

Szkic znaku iloczynu \((m-2)(m+2)\):

| Przedział | \((m+2)\) | \((m-2)\) | Iloczyn |
| \(m < -2\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(-2 < m < 2\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(m > 2\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

Iloczyn jest ujemny dla \(m \in (-2, 2)\).

**Zatem funkcja jest malejąca dla \(m \in (-2, 2)\).**

## Sposób 2 - Nierówność kwadratowa przez deltę

Rozwiązujemy \(m^2 - 4 < 0\) jako nierówność kwadratową (trójmian \(m^2 + 0 \cdot m - 4\)):

\[\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16\]
\[m_1 = \frac{0 - 4}{2} = -2, \qquad m_2 = \frac{0 + 4}{2} = 2\]

Ponieważ współczynnik przy \(m^2\) jest **dodatni** (\(a = 1 > 0\)), ramiona paraboli idą w górę - trójmian jest ujemny **między** pierwiastkami:

\[m^2 - 4 < 0 \iff m \in (-2, 2)\]

**Weryfikacja brzegów:** dla \(m = -2\) lub \(m = 2\) mamy \(m^2 - 4 = 0\), co daje \(f(x) = 2\) - funkcja stała (nie malejąca). Słusznie punkty \(-2\) i \(2\) są **wykluczone** z odpowiedzi (przedział otwarty).

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu i znak parabolowy:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta = b^2 - 4ac\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do znalezienia pierwiastków nierówności \(m^2 - 4 < 0\).

> Uwaga: sama definicja malejącości funkcji liniowej (współczynnik \(a < 0\)) nie pochodzi z karty wzorów - to wiedza z definicji funkcji liniowej.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| **A** | \(m \in \{-2, 2\}\) - dla tych wartości \(m^2 - 4 = 0\), więc \(f(x) = 2\) to funkcja **stała**, a nie malejąca |
| **C** | \(m \in (-\infty, -2)\) - dla \(m < -2\) mamy \(m^2 > 4\), więc \(m^2 - 4 > 0\) - funkcja jest **rosnąca** |
| **D** | \(m \in (2, +\infty)\) - analogicznie jak C: \(m^2 > 4\) daje współczynnik dodatni - funkcja **rosnąca** |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A to klasyczna pułapka - \(m = \pm 2\) zeruje współczynnik kierunkowy, ale wtedy funkcja w ogóle nie jest liniowa (staje się stałą), więc NIE jest malejąca!

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek nierówności - pamiętaj, że malejąca \(\Rightarrow\) współczynnik kierunkowy **ściśle ujemny** (\(< 0\)), a nie \(\leq 0\). Przedziały są otwarte!

> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu \(m^2 < 4\) nie zapomnij, że \(\sqrt{m^2} = |m|\), stąd \(|m| < 2\), co bezpośrednio daje \(-2 < m < 2\). To najszybsza droga do odpowiedzi!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Warunek na malejącą funkcję liniową
Funkcja liniowa \(f(x) = ax + b\) jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy \(a < 0\). W naszym przypadku \(a = m^2 - 4\), więc rozwiązujemy:
\[m^2 - 4 < 0\]
\[(m-2)(m+2) < 0.\]

Nierówność kwadratowa. Parabola \(y = m^2 - 4\) ma miejsca zerowe \(m = -2, m = 2\) i ramiona w górę, więc jest ujemna między pierwiastkami:
\[m \in (-2, 2).\]

### Sposób 2 - Metoda znaków
\(m^2 - 4 < 0 \iff m^2 < 4 \iff |m| < 2 \iff -2 < m < 2\), czyli \(m \in (-2, 2)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(m \in \{-2, 2\}\):** wtedy \(a = 0\), funkcja jest **stała**, nie malejąca.
- **C. \(m \in (-\infty, -2)\):** wtedy \(m^2 > 4\), więc \(a > 0\) - funkcja **rosnąca**.
- **D. \(m \in (2, +\infty)\):** j.w. - funkcja rosnąca.

**Pamiętaj:** \(a < 0\) ⇒ malejąca, \(a > 0\) ⇒ rosnąca, \(a = 0\) ⇒ stała.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/3) — Dana jest funkcja \(f : R \to R\) określona wzorem \(f(x) = ax + 4\). a) Wyznacz wartość \(a\), dla której miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(-1\). b)
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-2) Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 jest prosta o równaniu 𝑥= -2. Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1. Ob
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) Funkcja kwadratowa 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 2. Ponadto 𝑓(0) = 8. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. EMAP-P0_100 Funkcja kwadratowa f ma 
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/6) — Funkcja f(x) = 9x + 16 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x [ - 16 9 ; + ) . P = (x_0, 5) należy do wykresu funkcji f . x_0 oraz wyznacz równanie sty

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_