# Matematyka — zadanie 7

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/7
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Funkcje

## Treść

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Funkcja \(f\) jest określona wzorem

rysunek: parabola o ramionach skierowanych w dół, miejsca zerowe \(x = -3\) oraz \(x = 1\), wierzchołek w punkcie \((-1, 2)\)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem

A. \(f(x) = \dfrac{1}{2}(x+3)(x-1)\)
B. \(f(x) = \dfrac{1}{2}(x-3)(x+1)\)
C. \(f(x) = -\dfrac{1}{2}(x+3)(x-1)\)
D. \(f(x) = -\dfrac{1}{2}(x-3)(x+1)\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

\[f(x) = -\frac{1}{2}(x+3)(x-1)\]

## Sposób 1 - Odczyt z wykresu i postać iloczynowa

Z rysunku odczytujemy trzy kluczowe informacje:

**1. Miejsca zerowe:** parabola przecina oś \(OX\) w punktach \(x_1 = -3\) oraz \(x_2 = 1\).

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej to:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x-(-3))(x-1) = a(x+3)(x-1)\]

**2. Kierunek ramion:** parabola jest otwarta **w dół**, więc współczynnik \(a < 0\).

To eliminuje odpowiedzi A i B (bo tam \(a = \frac{1}{2} > 0\)).

**3. Wyznaczamy \(a\) z wierzchołka:** wierzchołek leży w punkcie \((-1, 2)\), czyli \(f(-1) = 2\).

Podstawiamy \(x = -1\):
\[f(-1) = a(-1+3)(-1-1) = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4a\]

Skoro \(f(-1) = 2\):
\[-4a = 2 \implies a = -\frac{1}{2}\]

**Wynik:**
\[\boxed{f(x) = -\frac{1}{2}(x+3)(x-1)}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez postać kanoniczną

Wierzchołek paraboli to \(W = (-1, 2)\), więc postać kanoniczna:
\[f(x) = a(x-p)^2 + q = a(x+1)^2 + 2\]

Podstawiamy jedno z miejsc zerowych, np. \(x = 1\) (gdzie \(f(1) = 0\)):
\[0 = a(1+1)^2 + 2 = 4a + 2\]
\[4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2}\]

Postać kanoniczna: \(f(x) = -\frac{1}{2}(x+1)^2 + 2\)

Sprawdźmy, czy to to samo co odpowiedź C. Rozwijamy odpowiedź C:
\[-\frac{1}{2}(x+3)(x-1) = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x - 3) = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}\]

Rozwijamy postać kanoniczną:
\[-\frac{1}{2}(x+1)^2 + 2 = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) + 2 = -\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}\]

Oba wzory dają ten sam wynik - **potwierdzono, że odpowiedź C jest poprawna**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 do zapisania wzoru funkcji na podstawie odczytanych miejsc zerowych.

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:
\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \quad W = (p, q)\]
Użyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \(a\) z wierzchołka \((-1, 2)\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | \(\frac{1}{2}(x+3)(x-1)\) - ramiona skierowane **w górę** (\(a > 0\)), tymczasem parabola jest otwarta w dół |
| B | \(\frac{1}{2}(x-3)(x+1)\) - błędne miejsca zerowe (\(x = 3\) i \(x = -1\) zamiast \(x = -3\) i \(x = 1\)) **oraz** ramiona w górę |
| D | \(-\frac{1}{2}(x-3)(x+1)\) - ramiona skierowane w dół (dobrze!), ale miejsca zerowe to \(x = 3\) i \(x = -1\) - odwrotnie niż na wykresie |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie znaku w czynnikach! Miejsce zerowe \(x_1 = -3\) daje czynnik \((x + 3)\), **nie** \((x - 3)\). Zapamiętaj: \(x - x_1\), więc minus razy minus daje plus.

> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwarta w dół to \(a < 0\) - to najszybszy sposób na odrzucenie połowy odpowiedzi bez żadnych obliczeń!

> ⚠️ **Uwaga:** Do wyznaczenia \(a\) możesz użyć **dowolnego punktu** należącego do paraboli - wierzchołek jest najwygodniejszy, ale równie dobrze działa jedno z miejsc zerowych podstawione do postaci kanonicznej.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Z rysunku: miejsca zerowe \(x_1 = -3, x_2 = 1\). Zatem postać iloczynowa:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x+3)(x-1).\]
Parabola ma ramiona **w dół**, więc \(a < 0\) - odpada A i B.

Wierzchołek w \((-1, 2)\) - sprawdzamy \(C\): \(f(-1) = -\tfrac{1}{2}(-1+3)(-1-1) = -\tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot (-2) = 2\) ✓.

### Sposób 2 - Obliczenie \(a\) z wierzchołka
\(a = \dfrac{y_w}{(x_w - x_1)(x_w - x_2)} = \dfrac{2}{(-1+3)(-1-1)} = \dfrac{2}{2 \cdot (-2)} = -\tfrac{1}{2}.\)
Stąd \(f(x) = -\tfrac{1}{2}(x+3)(x-1)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** \(a = \tfrac{1}{2} > 0\) - ramiona w górę, ale na rysunku w dół.
- **B.** Miejsca zerowe \(3, -1\) - niezgodne z rysunkiem; \(a > 0\).
- **D.** Miejsca zerowe \(3, -1\) - niezgodne z rysunkiem.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/7)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F7)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji ( ) y f x Korzystając z tego wykresu: a) zapisz w postaci przedzi
- [Zadanie 11.2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.2) — Zadanie 11.2. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa
- [Zadanie 12.1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.1) — Zadanie 12.1. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania 𝑓(𝑥) = 3 jest lic
- [Zadanie 12.1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12.1) — Zadanie 12.1. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Funkcja 𝑓 ma dokładnie miejsca zerowe. 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_