# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa)
- rok: 2010
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, geometria analityczna

## Treść

Punkt C (0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD , którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y 2 x 4 . Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.

A. \(y = \dfrac{1}{2}x + 2\)
B. \(y = -2x + 2\)
C. \(y = -\dfrac{1}{2}x + 2\)
D. \(y = 2x + 2\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

\[y = 2x + 2\]

## Sposób 1 - Równoległość podstaw trapezu

**Kluczowe spostrzeżenie:** W trapezie \(ABCD\) podstawy to \(AB\) i \(CD\) - są one **równoległe**.

**Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy prostej \(AB\).**

Prosta \(AB\) ma równanie \(y = 2x - 4\), więc jej współczynnik kierunkowy to:
\[a_{AB} = 2\]

**Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(CD\).**

Ponieważ \(CD \parallel AB\), proste te mają **ten sam współczynnik kierunkowy**:
\[a_{CD} = a_{AB} = 2\]

**Krok 3: Wyznacz równanie prostej \(CD\).**

Prosta \(CD\) przechodzi przez punkt \(C = (0, 2)\) i ma współczynnik kierunkowy \(2\):
\[y = 2x + b\]

Podstawiam \(C = (0, 2)\):
\[2 = 2 \cdot 0 + b \implies b = 2\]

**Równanie prostej \(CD\):**
\[\boxed{y = 2x + 2}\]

## Sposób 2 - Wzór kierunkowy prostej przez dwa punkty (weryfikacja)

Sprawdzam, czy wynik jest sensowny: prosta \(y = 2x + 2\) i prosta \(y = 2x - 4\) mają ten sam współczynnik kierunkowy \(a = 2\), więc są **równoległe** ✓.

Różnią się wyrazem wolnym (\(+2\) vs \(-4\)), więc są **różnymi prostymi** (nie pokrywają się) ✓.

Punkt \(C = (0, 2)\) leży na prostej \(y = 2 \cdot 0 + 2 = 2\) ✓.

Warunki trapezu są spełnione.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**

Równanie kierunkowe prostej: \(y = ax + b\), gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy.

Warunek równoległości prostych: \(a_1 = a_2\)

Użyliśmy tego bezpośrednio: podstawy trapezu są równoległe, więc prosta \(CD\) ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta \(AB\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Równanie | Błąd |
| A | \(y = \frac{1}{2}x + 2\) | Współczynnik \(\frac{1}{2}\) to odwrotność \(2\), ale **nie gwarantuje równoległości**. Mylenie odwrotności z równoległością. |
| B | \(y = -2x + 2\) | Zmieniono znak współczynnika: \(-2\) zamiast \(2\). Prosta byłaby **symetryczna do \(AB\)** względem osi \(OY\), ale nie równoległa. |
| C | \(y = -\frac{1}{2}x + 2\) | Współczynnik \(-\frac{1}{2}\) spełnia \(2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1\), co oznacza **prostopadłość** do \(AB\) - to byłoby ramię trapezu, nie podstawa. |
| D | \(y = 2x + 2\) | **Poprawna** - ten sam współczynnik kierunkowy, prosta przez \(C = (0,2)\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Podstawy trapezu muszą być **równoległe** - to definicja trapezu. Prosta \(CD\) **musi mieć ten sam współczynnik kierunkowy** co prosta \(AB\). To jedyny warunek, od którego zaczynamy.

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\(a = -\frac{1}{2}\)) kusi, bo \(-\frac{1}{2}\) i \(2\) "pasują do siebie" (iloczyn = \(-1\)). Ale to oznacza **prostopadłość**, nie równoległość - to byłoby ramię trapezu, nie jego podstawa.

> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \(C = (0, 2)\) leży na osi \(OY\), więc \(x = 0\) - wyraz wolny prostej \(CD\) odczytujemy wprost ze współrzędnej \(y\) punktu \(C\), czyli \(b = 2\). Nie trzeba nawet rozwiązywać układu równań!

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Warunek równoległości
W trapezie podstawy \(AB\) i \(CD\) są **równoległe**. Dwie proste \(y = a_1 x + b_1\) i \(y = a_2 x + b_2\) są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy: \(a_1 = a_2\).

Prosta \(AB\): \(y = 2x - 4\), więc \(a = 2\). Zatem prosta \(CD\) ma postać \(y = 2x + b\).

Punkt \(C = (0, 2)\) należy do tej prostej:
\[2 = 2 \cdot 0 + b \Rightarrow b = 2.\]

Równanie: \(y = 2x + 2\).

### Sposób 2 - Podstawienie \(C\) do odpowiedzi
Sprawdzamy, dla której prostej punkt \(C = (0,2)\) spełnia równanie oraz współczynnik kierunkowy jest równy \(2\):
- **A.** \(a = \tfrac{1}{2}\) ≠ 2 ✗
- **B.** \(a = -2\) ≠ 2 ✗
- **C.** \(a = -\tfrac{1}{2}\) ≠ 2 ✗
- **D.** \(a = 2\), \(f(0) = 2\) ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, C.** Proste \(y = \tfrac{1}{2}x + 2\) i \(y = -\tfrac{1}{2}x + 2\) - nie są równoległe (to proste **prostopadłe** lub inne).
- **B.** Prosta \(y = -2x + 2\) ma nachylenie \(-2\), a \(AB\) ma \(2\) - to nie są proste równoległe.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_