# Matematyka — zadanie 9 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/9 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · 2010 (podstawowa) - rok: 2010 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Wyrażenia algebraiczne ## Treść Dla każdej liczby \(x\), spełniającej warunek \(-3 < x < 0\), wyrażenie \(\frac{|x + 3| - x + 3}{x}\) jest równe A. \(2\) B. \(3\) C. \(-\dfrac{6}{x}\) D. \(\dfrac{6}{x}\) ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D Wyrażenie \(\dfrac{|x+3| - x + 3}{x}\) dla \(-3 < x < 0\) jest równe \(\dfrac{6}{x}\). ## Sposób 1 - Wyznaczenie znaku \(|x+3|\) z dziedziny **Krok 1: Ustal znak wyrażenia pod wartością bezwzględną.** Warunek zadania: \(-3 < x < 0\). Dodajemy \(3\) do wszystkich stron nierówności: \[0 < x + 3 < 3\] Zatem \(x + 3 > 0\), więc: \[|x+3| = x + 3\] **Krok 2: Podstaw do wyrażenia.** \[\frac{|x+3| - x + 3}{x} = \frac{(x+3) - x + 3}{x}\] **Krok 3: Uprość licznik.** \[\frac{x + 3 - x + 3}{x} = \frac{6}{x}\] **Wynik: \(\dfrac{6}{x}\)** - odpowiedź **D**. Warto zauważyć: ponieważ \(x < 0\), wartość \(\frac{6}{x} < 0\), co jest sensowne - wyrażenie przyjmuje wartości ujemne na całej dziedzinie. ## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem liczbowym Sprawdzamy dla konkretnej wartości z dziedziny, np. \(x = -2\) (spełnia \(-3 < -2 < 0\)). **Obliczamy bezpośrednio:** \[\frac{|-2+3| - (-2) + 3}{-2} = \frac{|1| + 2 + 3}{-2} = \frac{1 + 2 + 3}{-2} = \frac{6}{-2} = -3\] **Sprawdzamy każdą odpowiedź przy \(x = -2\):** | Odpowiedź | Wartość przy \(x=-2\) | Wynik | | A: \(2\) | \(2\) | \(\neq -3\) ✗ | | B: \(3\) | \(3\) | \(\neq -3\) ✗ | | C: \(-\dfrac{6}{x}\) | \(-\dfrac{6}{-2} = 3\) | \(\neq -3\) ✗ | | D: \(\dfrac{6}{x}\) | \(\dfrac{6}{-2} = -3\) | \(= -3\) ✓ | Tylko odpowiedź D daje poprawny wynik. ## Wzory z karty CKE **Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja: \[|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \geq 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}\] Użyliśmy jej w Kroku 1: skoro \(x + 3 > 0\), to \(|x+3| = x+3\). To jest **cały klucz tego zadania** - rozpoznanie znaku argumentu wartości bezwzględnej z warunków dziedziny. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A: \(2\) | Uczeń oblicza \(\frac{|x+3|-x+3}{x}\) mechanicznie, popełnia błąd arytmetyczny i dostaje stałą - to niemożliwe, gdy \(x\) jest w mianowniku | | B: \(3\) | Podobny błąd rachunkowy; wynik stały sugeruje, że uczeń skasował \(x\) z mianownika zbyt wcześnie | | C: \(-\dfrac{6}{x}\) | **Najgroźniejsza pułapka!** Uczeń myśli: „skoro \(x < 0\), to może \(x+3 < 0\)?", więc fałszywie przyjmuje \(|x+3| = -(x+3)\). To błąd - warunek \(x > -3\) gwarantuje \(x+3 > 0\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to automatyczne przyjęcie \(|x+3| = -(x+3)\) tylko dlatego, że \(x < 0\). Pamiętaj - ważny jest znak **całego wyrażenia** \(x+3\), nie samego \(x\)! > ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **najpierw wyznacz znak argumentu** wartości bezwzględnej z warunków dziedziny - to jedyny sposób na pozbycie się \(|\cdot|\) i wykonanie dalszych obliczeń. > ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi A i B (stałe) powinny od razu wzbudzić podejrzenia - wyrażenie z \(x\) w mianowniku nie może dać stałej dla całej dziedziny. **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej Ponieważ \(-3 < x < 0\), to \(x + 3 > 0\), więc \(|x + 3| = x + 3\). Podstawiamy: \[\dfrac{|x+3| - x + 3}{x} = \dfrac{(x+3) - x + 3}{x} = \dfrac{x + 3 - x + 3}{x} = \dfrac{6}{x}.\] ### Sposób 2 - Podstawienie konkretnej liczby Weźmy \(x = -1\) (spełnia \(-3 < -1 < 0\)): \[\dfrac{|-1+3| - (-1) + 3}{-1} = \dfrac{|2| + 1 + 3}{-1} = \dfrac{2 + 1 + 3}{-1} = \dfrac{6}{-1} = -6.\] Sprawdzamy odpowiedzi dla \(x = -1\): - **A.** \(2 \ne -6\) ✗ - **B.** \(3 \ne -6\) ✗ - **C.** \(-\tfrac{6}{-1} = 6 \ne -6\) ✗ - **D.** \(\tfrac{6}{-1} = -6\) ✓ ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(2\):** ktoś nie zliczył wszystkich trójek w liczniku. - **B. \(3\):** j.w. - **C. \(-\tfrac{6}{x}\):** błąd znaku w liczniku - prawdopodobnie ktoś użył \(|x+3| = -(x+3)\), co w tym przedziale jest błędne (bo \(x+3 > 0\)). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/9) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1%2Fzad%2F9) ## Podobne zadania - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (0-1) Wartość wyrażenia 𝑥2 + 10𝑥+ 25 dla 𝑥= √2 -5 jest równa A. 2 B. √2 C. 2 -20√2 D. 62 -10√2 - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia 𝑥2 + 10𝑥+ 25 dla 𝑥= √2 -5 jest równa A. 2 B. √2 C. 2 -20√2 D. 62 - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 wartość wyrażenia (2𝑎+ 𝑏)2 -(2𝑎-𝑏)2 jest równa wartości wyrażenia A. 8𝑎2 B. - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3) — Cenę aparatu fotograficznego obniżono o 15% , a następnie - o 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_