# Matematyka — zadanie 1 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/1 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa) - rok: 2009 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Funkcje ## Treść Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \begin{cases} -x-4 & \text{dla } -7 \leq x < -3 \\ -1 & \text{dla } -3 \leq x < 0 \\ 4x-1 & \text{dla } 0 \leq x \leq 2 \end{cases}\). a) Podaj dziedzinę funkcji \(f\). b) Podaj jej miejsca zerowe. c) Naszkicuj wykres tej funkcji. d) Podaj zbiór wartości funkcji \(f\). ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: **a)** \(D_f = \langle -7, 2 \rangle\) **b)** \(x = -4\) oraz \(x = \dfrac{1}{4}\) **d)** \(Z_f = \langle -1, 7 \rangle\) ## Sposób 1 - analiza każdej gałęzi osobno ### a) Dziedzina Funkcja jest określona na trzech przedziałach. Wystarczy znaleźć ich sumę: \[-7 \le x < -3 \quad \cup \quad -3 \le x < 0 \quad \cup \quad 0 \le x \le 2\] Przedziały "sklejają się" bez przerw (koniec jednego = początek następnego), więc: \[\boxed{D_f = \langle -7, 2 \rangle}\] ### b) Miejsca zerowe Szukamy \(f(x) = 0\) w każdej gałęzi osobno. **Gałąź 1:** \(f(x) = -x - 4\) dla \(-7 \le x < -3\) \[-x - 4 = 0 \implies x = -4\] Sprawdzamy warunek: \(-7 \le -4 < -3\) ✓ - **\(x = -4\) jest miejscem zerowym** **Gałąź 2:** \(f(x) = -1\) dla \(-3 \le x < 0\) \[-1 = 0\] Sprzeczność - **brak miejsca zerowego w tej gałęzi** **Gałąź 3:** \(f(x) = 4x - 1\) dla \(0 \le x \le 2\) \[4x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4}\] Sprawdzamy warunek: \(0 \le \dfrac{1}{4} \le 2\) ✓ - **\(x = \dfrac{1}{4}\) jest miejscem zerowym** \[\boxed{x = -4 \quad \text{oraz} \quad x = \frac{1}{4}}\] ### c) Szkic wykresu Rysujemy trzy fragmenty: **Gałąź 1** - fragment prostej \(y = -x - 4\) (malejąca, nachylenie \(-1\)): - Punkt \((-7,\; 3)\) - **zamknięty** (należy do dziedziny) - Punkt \((-3,\; -1)\) - **otwarty** (nie należy) - Prosta przecina oś \(OX\) w \(x = -4\) **Gałąź 2** - poziomy odcinek \(y = -1\): - Od \((-3,\; -1)\) **zamkniętego** do \((0,\; -1)\) **otwartego** **Gałąź 3** - fragment prostej \(y = 4x - 1\) (rosnąca, nachylenie \(4\)): - Punkt \((0,\; -1)\) - **zamknięty** - Punkt \((2,\; 7)\) - **zamknięty** - Prosta przecina oś \(OX\) w \(x = \tfrac{1}{4}\) Uwaga: w \(x = -3\) i \(x = 0\) wykres jest ciągły - wartości gałęzi się zgadzają (\(f(-3) = -1\) z obu stron, \(f(0) = -1\) z obu stron). ### d) Zbiór wartości Wyznaczamy zbiór wartości każdej gałęzi: **Gałąź 1:** \(f(x) = -x - 4\) jest **malejąca** na \(\langle -7, -3)\) \[f(-7) = 7 - 4 = 3 \quad \text{(wartość maksymalna, osiągana)}\] \[\lim_{x \to -3^-} f(x) = 3 - 4 = -1 \quad \text{(wartość minimalna, nie osiągana)}\] Zbiór wartości gałęzi 1: \((-1,\; 3]\) **Gałąź 2:** \(f(x) = -1\) (stała) Zbiór wartości gałęzi 2: \(\{-1\}\) **Gałąź 3:** \(f(x) = 4x - 1\) jest **rosnąca** na \(\langle 0, 2\rangle\) \[f(0) = -1, \quad f(2) = 8 - 1 = 7\] Zbiór wartości gałęzi 3: \(\langle -1,\; 7\rangle\) **Łączymy** wszystkie zbiory wartości: \[(-1,\; 3] \;\cup\; \{-1\} \;\cup\; \langle -1,\; 7\rangle = \langle -1,\; 7\rangle\] \[\boxed{Z_f = \langle -1, 7 \rangle}\] ## Sposób 2 - weryfikacja przez odczyt charakterystycznych punktów Zamiast analizować gałęzie formalnie, odczytujemy wartości w punktach kluczowych i na ich podstawie wyznaczamy odpowiedzi. **Wartości na krańcach i punktach sklejenia:** | \(x\) | Gałąź | \(f(x)\) | Uwaga | | \(-7\) | \(-x-4\) | \(3\) | lewy kraniec dziedziny | | \(-4\) | \(-x-4\) | \(0\) | miejsce zerowe! | | \(-3\) | \(-x-4\) | \(-1\) | punkt otwarty (z lewej) | | \(-3\) | \(-1\) | \(-1\) | punkt zamknięty (z prawej) | | \(0\) | \(-1\) | \(-1\) | punkt otwarty (z lewej) | | \(0\) | \(4x-1\) | \(-1\) | punkt zamknięty (z prawej) | | \(\frac{1}{4}\) | \(4x-1\) | \(0\) | miejsce zerowe! | | \(2\) | \(4x-1\) | \(7\) | prawy kraniec dziedziny | **Wnioski:** - **Dziedzina**: od \(x = -7\) do \(x = 2\), bez przerw → \(\langle -7, 2\rangle\) - **Miejsca zerowe**: tam gdzie \(f(x) = 0\) → \(x = -4\) i \(x = \frac{1}{4}\) - **Zbiór wartości**: najniższa wartość to \(-1\), najwyższa to \(7\), funkcja jest ciągła → \(\langle -1, 7\rangle\) Ta metoda jest szybsza na egzaminie, gdy wykres jest już narysowany - wystarczy odczytać skrajne wartości. ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Wystarczą: - definicja dziedziny i zbioru wartości funkcji - umiejętność rozwiązywania równań liniowych (\(ax + b = 0\)) - analiza monotoniczności funkcji liniowej na podstawie współczynnika kierunkowego ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu dziedziny sprawdź, czy przedziały naprawdę się "sklejają" - tu w punktach \(x = -3\) i \(x = 0\) jeden przedział kończy się nawiasem otwartym, a drugi zaczyna zamkniętym, więc razem pokrywają cały odcinek bez luk. > ⚠️ **Uwaga:** Przy miejscach zerowych ZAWSZE sprawdzaj, czy wyznaczone \(x\) mieści się w warunku gałęzi! Gdyby np. gałąź 1 była określona dla \(-7 \le x < -5\), to \(x = -4\) byłoby poza dziedziną tej gałęzi i nie byłoby miejscem zerowym. > ⚠️ **Uwaga:** Przy zbiorze wartości pamiętaj o otwartych i zamkniętych końcach przedziałów. Gałąź 1 daje \((-1, 3]\) - wartość \(-1\) nie jest tu osiągana, ale jest osiągana przez gałęzie 2 i 3. Gdyby tych gałęzi nie było, \(-1\) nie należałoby do zbioru wartości! **Poprawna odpowiedź:** a) \(D_f = \langle -7, 2 \rangle\); b) \(x_1 = -4\), \(x_2 = \dfrac{1}{4}\); d) \(Z_f = \langle -1, 7 \rangle\). ### a) Dziedzina Dziedzina funkcji sklejanej jest sumą wszystkich przedziałów, na których podano wzory: \[D_f = \langle -7, -3) \cup \langle -3, 0) \cup \langle 0, 2\rangle = \langle -7, 2 \rangle.\] ### b) Miejsca zerowe Rozwiązujemy \(f(x) = 0\) na każdym przedziale osobno. **Przedział \(\langle -7, -3)\):** \(-x - 4 = 0 \Rightarrow x = -4\). Sprawdzenie: \(-4 \in \langle -7, -3)\) ✓ **Przedział \(\langle -3, 0)\):** \(-1 = 0\) - sprzeczność, brak rozwiązań. **Przedział \(\langle 0, 2\rangle\):** \(4x - 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{4}\). Sprawdzenie: \(\dfrac{1}{4} \in \langle 0, 2\rangle\) ✓ **Miejsca zerowe:** \(x_1 = -4\), \(x_2 = \dfrac{1}{4}\). ### c) Wykres Wyznaczamy wartości funkcji w kluczowych punktach każdego przedziału: | Przedział | Wzór | Końce | Wartości | | \(\langle -7, -3)\) | \(-x-4\) | \(x = -7, -3\) | \(f(-7) = 3\); \(f(-3) = -1\) (granica) | | \(\langle -3, 0)\) | \(-1\) | stała | \(f(x) = -1\) | | \(\langle 0, 2\rangle\) | \(4x-1\) | \(x = 0, 2\) | \(f(0) = -1\); \(f(2) = 7\) | Wykres składa się z trzech kawałków: - **Odcinek 1:** od \((-7, 3)\) do \((-3, -1)\) - ale prawy koniec otwarty (punkt pełny tylko \((-7, 3)\), punkt \((-3, -1)\) oznaczony kółkiem pustym). - **Odcinek 2:** pozioma prosta \(y = -1\) od \(x = -3\) (punkt pełny \((-3, -1)\)) do \(x = 0\) (kółko puste w \((0, -1)\)). - **Odcinek 3:** od \((0, -1)\) (punkt pełny) do \((2, 7)\) (punkt pełny). ### d) Zbiór wartości Analizujemy wartości przyjmowane na każdym kawałku: - Na \(\langle -7, -3)\): \(f\) maleje od \(3\) do wartości granicznej \(-1\); zbiór: \((-1, 3\rangle\). - Na \(\langle -3, 0)\): stale \(-1\); zbiór: \(\{-1\}\). - Na \(\langle 0, 2\rangle\): \(f\) rośnie od \(-1\) do \(7\); zbiór: \(\langle -1, 7\rangle\). Suma: \(Z_f = \langle -1, 7 \rangle\). ### Weryfikacja - \(f(-7) = 7 - 4 = 3\) ✓ - \(f(-4) = 4 - 4 = 0\) ✓ (miejsce zerowe) - \(f(-3) = -1\) ✓ (sklejenie) - \(f(0) = -1\) ✓ - \(f(\tfrac{1}{4}) = 1 - 1 = 0\) ✓ (miejsce zerowe) - \(f(2) = 7\) ✓ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/1) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F1) ## Podobne zadania - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (10 pkt) Funkcja h jest określona wzorem . Wyznacz wszystkie wartości parametru dla których równanie ma dwa różne pierwiastki. ) 5 ( log ) 4 ( log ) - [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18. a) Wykaż, że pole 𝑃 każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości 𝑏 rami - [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne 𝐴𝐵𝐶 o przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 i obwodzie równym 4. Niech 𝑥= |𝐴𝐶|. a) Wykaż, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 - [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji ( ) 1 2 + x x f oraz ( ) x x x g 1 Na podstawie wykonanego rysunku określ liczbę u _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_