# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)
- rok: 2009
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Funkcje, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 10. (5 pkt)
Doświadczalnie ustalono, że czas
)
(n
T
, liczony w sekundach, potrzebny na alfabetyczne
ułożenie n kartek z nazwiskami wyraża się, z dobrym przybliżeniem, wzorem
n
b
n
a
n
T
⋅
⋅
2
)
(
. Ułożenie 10 kartek trwa średnio 20 sekund, a 30 kartek średnio
90 sekund. Wyznacz wzór funkcji ( )
n
T
i oblicz, ile kartek można ułożyć średnio w ciągu
50 sekund.

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
12

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

\[T(n) = \frac{1}{20}n^2 + \frac{3}{2}n\]

W ciągu 50 sekund można ułożyć **20 kartek**.

## Sposób 1 - Układ równań z podstawienia warunków

**Krok 1. Zapisz warunki jako układ równań.**

Wiemy, że \(T(n) = an^2 + bn\). Podstawiamy dane:

\[T(10) = 20 \implies 100a + 10b = 20\]

\[T(30) = 90 \implies 900a + 30b = 90\]

**Krok 2. Uprość równania.**

Dzielimy pierwsze przez 10, drugie przez 30:

\[\begin{cases} 10a + b = 2 \\ 30a + b = 3 \end{cases}\]

**Krok 3. Rozwiąż układ - odejmij pierwsze od drugiego.**

\[(30a + b) - (10a + b) = 3 - 2\]

\[20a = 1 \implies \boxed{a = \frac{1}{20}}\]

**Krok 4. Wyznacz \(b\).**

Podstawiamy \(a = \frac{1}{20}\) do pierwszego równania:

\[10 \cdot \frac{1}{20} + b = 2 \implies \frac{1}{2} + b = 2 \implies \boxed{b = \frac{3}{2}}\]

**Krok 5. Wzór funkcji:**

\[T(n) = \frac{1}{20}n^2 + \frac{3}{2}n\]

**Krok 6. Ile kartek w 50 sekund?**

Rozwiązujemy równanie \(T(n) = 50\):

\[\frac{1}{20}n^2 + \frac{3}{2}n = 50\]

Mnożymy obie strony przez 20:

\[n^2 + 30n = 1000\]

\[n^2 + 30n - 1000 = 0\]

Wyróżnik:

\[\Delta = 30^2 + 4 \cdot 1000 = 900 + 4000 = 4900 = 70^2\]

Pierwiastki:

\[n = \frac{-30 \pm 70}{2}\]

\[n_1 = \frac{-30 + 70}{2} = 20, \qquad n_2 = \frac{-30 - 70}{2} = -50\]

Odrzucamy \(n_2 = -50\) (liczba kartek musi być dodatnia).

**W ciągu 50 sekund można ułożyć 20 kartek.**

## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie do wyznaczonego wzoru)

Sprawdzamy, czy wyznaczony wzór \(T(n) = \frac{1}{20}n^2 + \frac{3}{2}n\) spełnia oba warunki zadania:

**Warunek 1:** \(n = 10\)

\[T(10) = \frac{1}{20} \cdot 100 + \frac{3}{2} \cdot 10 = 5 + 15 = 20 \checkmark\]

**Warunek 2:** \(n = 30\)

\[T(30) = \frac{1}{20} \cdot 900 + \frac{3}{2} \cdot 30 = 45 + 45 = 90 \checkmark\]

**Weryfikacja odpowiedzi \(n = 20\):**

\[T(20) = \frac{1}{20} \cdot 400 + \frac{3}{2} \cdot 20 = 20 + 30 = 50 \checkmark\]

Wszystko się zgadza.

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:

\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Użyliśmy tego w Kroku 6, rozwiązując równanie kwadratowe \(n^2 + 30n - 1000 = 0\) w celu wyznaczenia liczby kartek.

> Uwaga: w tym zadaniu \(a = 1\), \(b = 30\), \(c = -1000\) to **współczynniki równania kwadratowego** - nie mylić z \(a, b\) z treści zadania (parametry funkcji \(T\)).

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Dzieląc pierwsze równanie przez 10 i drugie przez 30, łatwo popełnić błąd arytmetyczny. Zawsze sprawdzaj uproszczenie: \(\frac{20}{10} = 2\), \(\frac{90}{30} = 3\).

> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \(n^2 + 30n - 1000 = 0\) ma dwa rozwiązania: \(n = 20\) i \(n = -50\). Pamiętaj odrzucić ujemne - liczba kartek musi być **liczbą naturalną**.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mnożyć przez 20 to najczęstszy błąd przy pracy z ułamkami w równaniu. Jeśli zostaje \(\frac{1}{20}n^2 + \frac{3}{2}n = 50\) i ktoś „na oko" wstawia \(n = 20\), może nie pokazać rozwiązania równania - na maturze wymagane jest pełne uzasadnienie algebraiczne.

**Poprawna odpowiedź:** \(T(n) = \dfrac{1}{20}n^2 + \dfrac{3}{2}n\); w ciągu \(50\) s można ułożyć \(n = 20\) kartek.

### Krok 1. Układ równań z danych
\[\begin{cases} T(10) = 20 \\ T(30) = 90 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 100a + 10b = 20 \\ 900a + 30b = 90 \end{cases}\]

### Krok 2. Rozwiązanie układu

Uproszczamy obie równości: pierwsze dzielimy przez \(10\), drugie przez \(30\):
\[\begin{cases} 10a + b = 2 \\ 30a + b = 3 \end{cases}\]

Odejmujemy stronami (drugie minus pierwsze):
\[20a = 1 \Rightarrow a = \dfrac{1}{20}.\]

Z pierwszego: \(b = 2 - 10 \cdot \dfrac{1}{20} = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\).

### Krok 3. Wzór funkcji
\[T(n) = \dfrac{1}{20}n^2 + \dfrac{3}{2}n, \quad n \in \mathbb{N}_+.\]

**Sprawdzenie:** \(T(10) = 5 + 15 = 20\) ✓; \(T(30) = 45 + 45 = 90\) ✓.

### Krok 4. Ile kartek w \(50\) s?
Rozwiązujemy równanie \(T(n) = 50\):
\[\dfrac{1}{20}n^2 + \dfrac{3}{2}n = 50 \quad |\cdot 20\]
\[n^2 + 30n - 1000 = 0.\]

Delta: \(\Delta = 900 + 4000 = 4900\), \(\sqrt{\Delta} = 70\).

\[n = \dfrac{-30 \pm 70}{2} \Rightarrow n_1 = 20, \quad n_2 = -50.\]

Odrzucamy \(n_2 < 0\) (liczba kartek nie może być ujemna).

**Odpowiedź:** można ułożyć \(n = 20\) kartek w ciągu \(50\) sekund.

### Weryfikacja
\[T(20) = \dfrac{1}{20} \cdot 400 + \dfrac{3}{2} \cdot 20 = 20 + 30 = 50 \text{ s} \checkmark.\]

### Uwaga dydaktyczna
Funkcja \(T(n)\) rośnie kwadratowo - zdwojenie liczby kartek z \(10\) do \(20\) daje \(2{,}5\)-krotny wzrost czasu (z \(20\) do \(50\) s), a nie dwukrotny. To typowa cecha algorytmów sortowania \(O(n^2)\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (5 pkt) Doświadczalnie ustalono, że czas ) (n T , liczony w sekundach, potrzebny na alfabetyczne ułożenie n kartek z nazwiskami wyraża się, z dobrym

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_