# Matematyka — zadanie 12 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/12 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa) - rok: 2009 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Układy równań ## Treść Zadanie 12. (4 pkt) W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi % 60 liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle samo chłopców, ile dziewcząt. Oblicz, ile osób liczy ta klasa oraz ilu jest w niej chłopców. Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 15 BRUDNOPIS ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź Klasa liczy **30 osób**, w tym **12 chłopców** (i 18 dziewcząt). ## Sposób 1 - Układ równań **Oznaczenia:** niech \(n\) = liczba wszystkich uczniów w klasie. **Krok 1: Ile jest dziewcząt?** Dziewczęta stanowią \(60\%\) klasy, więc: \[\text{liczba dziewcząt} = 0{,}6n\] Chłopcy to reszta: \[\text{liczba chłopców} = n - 0{,}6n = 0{,}4n\] **Krok 2: Co się dzieje po wyjeździe 6 dziewcząt?** Po wyjeździe 6 dziewcząt pozostaje ich \(0{,}6n - 6\). Warunek zadania mówi, że wtedy liczba pozostałych dziewcząt **równa się** liczbie chłopców: \[0{,}6n - 6 = 0{,}4n\] **Krok 3: Rozwiązujemy równanie** \[0{,}6n - 0{,}4n = 6\] \[0{,}2n = 6\] \[n = \frac{6}{0{,}2} = 30\] **Krok 4: Wyznaczamy chłopców** \[\text{liczba chłopców} = 0{,}4 \cdot 30 = 12\] **Odpowiedź:** Klasa liczy **30 osób**, w tym **12 chłopców**. ## Sposób 2 - Rozumowanie przez części całości Zamiast procentów, myślimy o **proporcjach**. Dziewczęta to \(60\% = \frac{3}{5}\) klasy, chłopcy to \(\frac{2}{5}\) klasy. Wyobraźmy sobie klasę podzieloną na **5 równych części**: dziewczęta zajmują 3 części, chłopcy 2 części. Po wyjeździe 6 dziewcząt dziewcząt i chłopców jest tyle samo - dziewczęta mają teraz **2 części** (tyle ile chłopcy). Tak więc: Dziewczęta straciły \(3 - 2 = 1\) część, a ta 1 część odpowiada **6 osobom**. Zatem jedna część to 6 osób, a cała klasa to: \[5 \cdot 6 = 30 \text{ osób}\] Chłopcy to 2 części: \[2 \cdot 6 = 12 \text{ chłopców}\] **Weryfikacja:** - Dziewczęta: \(30 \cdot 60\% = 18\) ✓ - Po wyjeździe: \(18 - 6 = 12\) dziewcząt, chłopców \(12\) - rzeczywiście tyle samo ✓ - Razem: \(18 + 12 = 30\) ✓ ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy znajomość definicji procentu i umiejętność ułożenia równania liniowego z jedną niewiadomą. To zadanie z zakresu arytmetyki i algebry elementarnej. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „\(60\%\) liczby osób" z „o \(60\%\) więcej niż chłopców". To są zupełnie różne zdania! Tu dziewczęta to \(0{,}6n\), a nie \(n + 0{,}6n\). > ⚠️ **Uwaga:** Po wyjeździe dziewcząt liczba chłopców się **nie zmienia** - zostaje ich nadal \(0{,}4n\). Częsty błąd to odjęcie 6 od obu grup. > ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o dwie rzeczy: liczbę **wszystkich osób** i liczbę **chłopców** - nie zapomnij podać obu odpowiedzi! **Poprawna odpowiedź:** klasa liczy \(30\) osób, chłopców jest \(12\) (dziewcząt - \(18\)). ### Sposób 1 - Zmienna: liczba osób w klasie Oznaczenia: - \(x\) - liczba wszystkich osób w klasie, - \(0{,}6x\) - liczba dziewcząt (\(60\%\)), - \(0{,}4x\) - liczba chłopców (\(40\%\)). **Warunek:** po wyjeździe \(6\) dziewcząt pozostaje tyle samo dziewcząt, ile jest chłopców: \[0{,}6x - 6 = 0{,}4x.\] \[0{,}2x = 6 \Rightarrow x = 30.\] **Wyniki:** - Liczba osób: \(30\). - Dziewcząt: \(0{,}6 \cdot 30 = 18\). - Chłopców: \(0{,}4 \cdot 30 = 12\). ### Sposób 2 - Układ równań (dziewczęta i chłopcy osobno) Oznaczenia: - \(x\) - liczba dziewcząt, - \(y\) - liczba chłopców. **Warunki:** \[\begin{cases} x = 0{,}6(x + y) \\ x - 6 = y \end{cases}\] Przekształcamy pierwsze: \(x = 0{,}6x + 0{,}6y \Rightarrow 0{,}4x = 0{,}6y \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}y\). Wstawiamy do drugiego: \(\dfrac{3}{2}y - 6 = y \Rightarrow \dfrac{1}{2}y = 6 \Rightarrow y = 12\). Stąd \(x = 18\), a liczba osób \(x + y = 30\). ### Sposób 3 - Rozumowanie o proporcjach (bez algebry) Stosunek dziewcząt do wszystkich przed wyjazdem: \(60 : 100 = 3 : 5\). Stosunek chłopców do wszystkich: \(40 : 100 = 2 : 5\). Na każde \(5\) osób: \(3\) dziewczynki i \(2\) chłopców. Różnica: \(3 - 2 = 1\) osoba na każde \(5\). Aby ta różnica zmalała do zera, trzeba odjąć od dziewcząt dokładnie liczbę równą różnicy - czyli \(\dfrac{1}{5}\) liczby osób w klasie. Mamy \(6\) wyjeżdżających, więc: \[\dfrac{1}{5}x = 6 \Rightarrow x = 30.\] Chłopców: \(\dfrac{2}{5} \cdot 30 = 12\). ### Weryfikacja - Klasa \(30\) osób, dziewcząt \(18\), chłopców \(12\). - \(\dfrac{18}{30} = 0{,}6 = 60\%\) ✓ - Po wyjeździe \(6\) dziewcząt: dziewcząt \(12\), chłopców \(12\) - tyle samo ✓ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/12) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F12) ## Podobne zadania - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi % 60 liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Suma dwóch liczb jest równa 7 , a ich różnica 3 . Oblicz iloczyn tych liczb. Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Poziom podstawowy 5 - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2018-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/20) — Zadanie 20. (0-3) W wyborach na przewodniczącego klasy kandydowało troje uczniów: Jacek, Helena i Grzegorz. Każdy uczeń tej klasy oddał jeden ważny głos. Jacek - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więce _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_