# Matematyka — zadanie 2 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/2 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa) - rok: 2009 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo ## Treść Zadanie 2. (3 pkt) Spośród cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem. Tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby większej od 52. Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 4 ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(P(A) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}\) ## Sposób 1 - Analiza przypadków (dziesiątki i jedności) **Przestrzeń zdarzeń elementarnych** Losujemy dwa razy ze zwracaniem z \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Każdy wynik to para \((d, j)\), gdzie \(d\) = cyfra dziesiątek, \(j\) = cyfra jedności. \[|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\] Wszystkie 36 wyników jest jednakowo prawdopodobnych. **Zdarzenie \(A\): liczba dwucyfrowa większa od 52** Liczba \(\overline{dj} > 52\) - sprawdzamy, kiedy to zachodzi: - **Dziesiątka = 5:** liczba ma postać \(5j\). Musi być \(5j > 52\), czyli \(j > 2\). Możliwe jedności: \(j \in \{3, 4, 5, 6\}\) → **4 wyniki**: \(53, 54, 55, 56\) - **Dziesiątka = 6:** liczba ma postać \(6j\). Każda taka liczba jest \(\geq 61 > 52\). Możliwe jedności: \(j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) → **6 wyników**: \(61, 62, 63, 64, 65, 66\) - **Dziesiątka \(\leq 4\):** liczba \(\leq 46 < 52\) - żaden wynik nie spełnia warunku. Łącznie zdarzeń sprzyjających: \(|A| = 4 + 6 = 10\) \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{10}{36} = \boxed{\frac{5}{18}}\] ## Sposób 2 - Tabela wszystkich wyników Wypisujemy tabelę \(6 \times 6\) i zaznaczamy (*) wyniki większe od 52: | \(d \backslash j\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | **1** | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | | **2** | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | | **3** | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | | **4** | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | | **5** | 51 | 52 | **53**\* | **54**\* | **55**\* | **56**\* | | **6** | **61**\* | **62**\* | **63**\* | **64**\* | **65**\* | **66**\* | Wyniki sprzyjające (oznaczone \(*\)): \(53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66\) - łącznie **10 wyników**. \[P(A) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}\] Wynik zgodny z Metodą 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne: \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\] gdzie \(|A|\) to liczba wyników sprzyjających, \(|\Omega|\) to liczba wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników. Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio: \(\frac{10}{36}\). ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Liczba 52 **nie spełnia** warunku (szukamy *większych* od 52, nie większych lub równych). Para \((5, 2)\) daje 52, które odpada - tu łatwo popełnić błąd i policzyć 11 zamiast 10. > ⚠️ **Uwaga:** Losowanie **ze zwracaniem** oznacza, że ta sama cyfra może być wylosowana dwa razy (np. 55, 66). Bez zwracania wyników byłoby \(6 \cdot 5 = 30\), a nie 36 - to zupełnie inne zadanie! > ⚠️ **Uwaga:** Przy cyfrze dziesiątek równej 5 trzeba sprawdzić jedności uważnie: \(51 < 52\), \(52 = 52\) - oba nie przechodzą. Przechodzi dopiero \(j \geq 3\), czyli 4 wartości, nie 5 ani nie 3. **Poprawna odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{5}{18}\). ### Sposób 1 - Model klasyczny (wszystkie pary) **Przestrzeń zdarzeń elementarnych:** losujemy kolejno dwie cyfry ze zwracaniem ze zbioru \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Zdarzenie elementarne to para uporządkowana \((x, y)\), gdzie \(x\) - cyfra dziesiątek, \(y\) - cyfra jedności. \[|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36.\] **Zdarzenie \(A\):** utworzona liczba \(\overline{xy} = 10x + y > 52\). Rozpatrujemy przypadki według cyfry dziesiątek: - \(x = 1, 2, 3, 4\): liczba \(\le 46 < 52\) - brak. - \(x = 5\): liczba \(5y\), warunek \(50 + y > 52 \Rightarrow y > 2\); \(y \in \{3,4,5,6\}\) - **4** przypadki. - \(x = 6\): liczba \(6y\), każda \(\ge 61 > 52\); \(y \in \{1,2,3,4,5,6\}\) - **6** przypadków. \[|A| = 4 + 6 = 10.\] **Prawdopodobieństwo:** \[P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}.\] ### Sposób 2 - Metoda drzewa Rysujemy drzewo: pierwsza gałąź - \(x\), druga - \(y\). Prawdopodobieństwa istotnych gałęzi: - \(P(x = 5) = \dfrac{1}{6}\), a następnie \(P(y \in \{3,4,5,6\}) = \dfrac{4}{6}\). - \(P(x = 6) = \dfrac{1}{6}\), a następnie \(P(y \in \{1,\ldots,6\}) = 1\). \[P(A) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot 1 = \dfrac{4}{36} + \dfrac{6}{36} = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}.\] ### Sposób 3 - Tabela 6×6 Zaznaczamy w tabeli 6×6 pola spełniające warunek \(10x + y > 52\) (wiersz \(x = 5\): kolumny 3-6; wiersz \(x = 6\): wszystkie 6 kolumn). Liczymy zaznaczone pola: \(4 + 6 = 10\) na 36, stąd \(P(A) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}\). ### Weryfikacja \(\dfrac{5}{18} \approx 0{,}278\) - sensowne: mniej niż \(\dfrac{1}{3}\), bo liczb większych od 52 w zbiorze możliwych jest niewiele. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/2) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F2) ## Podobne zadania - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wyp - [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 . - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_