# Matematyka — zadanie 3

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/3
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)
- rok: 2009
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Trygonometria

## Treść

Uzasadnij, że dla każdego \(\alpha \in (0^{\circ}, 90^{\circ})\) prawdą jest, że \((1 + \sin\alpha) \cdot \left( \frac{1}{\cos\alpha} - \text{tg}\,\alpha \right) = \cos\alpha\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Tożsamość prawdziwa

Jest to zadanie dowodowe - pokazujemy, że lewa strona równa się prawej dla każdego \(\alpha \in (0°, 90°)\).

## Sposób 1 - Sprytne grupowanie (różnica kwadratów)

**Kluczowa obserwacja:** w nawiasie \(\frac{1}{\cos\alpha} - \operatorname{tg}\alpha\) mamy wspólny mianownik \(\cos\alpha\). Sprowadźmy to do jednego ułamka:

\[\frac{1}{\cos\alpha} - \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha}\]

Podstawiamy do całego wyrażenia:

\[(1 + \sin\alpha) \cdot \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha}\]

**Zauważamy wzór skróconego mnożenia** \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) dla \(a = 1\), \(b = \sin\alpha\):

\[= \frac{(1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{1 - \sin^2\alpha}{\cos\alpha}\]

Teraz używamy **jedynki trygonometrycznej** \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), skąd \(1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha\):

\[= \frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \cos\alpha\]

**Lewa strona = \(\cos\alpha\) = Prawa strona. Tożsamość udowodniona.** $\blacksquare$

## Sposób 2 - Rozwinięcie nawiasów (bez grupowania)

Rozwijamy iloczyn „na pałę", mnożąc \((1 + \sin\alpha)\) przez każdy składnik:

\[(1 + \sin\alpha) \cdot \left(\frac{1}{\cos\alpha} - \operatorname{tg}\alpha\right)\]

\[= \frac{1}{\cos\alpha} - \operatorname{tg}\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha\]

Zastępujemy \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):

\[= \frac{1}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]

Dwa środkowe składniki znoszą się:

\[= \frac{1}{\cos\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1 - \sin^2\alpha}{\cos\alpha}\]

I dalej tak samo jak w Sposobie 1:

\[= \frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \cos\alpha \quad \blacksquare\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**

- Definicja tangensa:
\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]
Użyte na początku, by sprowadzić \(\operatorname{tg}\alpha\) do ułamka z \(\sin\) i \(\cos\).

- Jedynka trygonometryczna:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \implies 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha\]
Kluczowe zastąpienie w obu sposobach - bez tego nie dojdziemy do \(\cos\alpha\).

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**

\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
W Sposobie 1 używamy tego wzoru „od prawej do lewej": rozpoznajemy \((1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)\) jako \(1^2 - \sin^2\alpha\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie „upraszczaj" od razu \((1 + \sin\alpha)\) i \((1 - \sin\alpha)\) na pamięć - zawsze pokaż wyraźny krok zastosowania wzoru \(a^2 - b^2\). Egzaminator ocenia tok rozumowania.

> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina jest ważna! Dla \(\alpha \in (0°, 90°)\) mamy \(\cos\alpha > 0\), więc \(\frac{1}{\cos\alpha}\) i \(\operatorname{tg}\alpha\) są dobrze określone. Gdyby \(\alpha = 90°\), wyrażenie nie istniałoby - dlatego zadanie wyklucza ten kąt.

> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach „uzasadnij tożsamość" zawsze przekształcamy **jedną stronę** (zazwyczaj lewą) do postaci drugiej - **nie** piszemy skrótowo \(LS = PS\) na początku bez dowodu!

**Teza:** \((1 + \sin\alpha)\left(\dfrac{1}{\cos\alpha} - \operatorname{tg}\alpha\right) = \cos\alpha\) dla \(\alpha \in (0°, 90°)\).

### Założenia
Dla \(\alpha \in (0°, 90°)\): \(\sin\alpha > 0\), \(\cos\alpha > 0\), więc \(\cos\alpha \ne 0\) - dzielenie dozwolone.

### Sposób 1 - Przekształcenie lewej strony (klasyczne)
Wstawiamy \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):
\[L = (1 + \sin\alpha)\left(\dfrac{1}{\cos\alpha} - \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right) = (1 + \sin\alpha) \cdot \dfrac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha}.\]

W liczniku pojawia się wzór skróconego mnożenia \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\):
\[(1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha) = 1 - \sin^2\alpha.\]

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), czyli \(1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha\):
\[L = \dfrac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \cos\alpha = P. \qquad \blacksquare\]

### Sposób 2 - Wspólny mianownik od początku
\[L = (1 + \sin\alpha)\left(\dfrac{1}{\cos\alpha} - \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right).\]

Wymnażamy nawiasy:
\[L = \dfrac{1 + \sin\alpha}{\cos\alpha} - \dfrac{(1 + \sin\alpha)\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{1 + \sin\alpha - \sin\alpha - \sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{1 - \sin^2\alpha}{\cos\alpha}.\]

Stosujemy jedynkę trygonometryczną:
\[L = \dfrac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \cos\alpha = P. \qquad \blacksquare\]

### Sposób 3 - Sprawdzenie na wartości (weryfikacja, nie dowód)
Dla \(\alpha = 30°\): \(\sin\alpha = \dfrac{1}{2}\), \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
\[L = \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30°. \checkmark\]

### Wniosek
Równość jest tożsamością na całym przedziale \((0°, 90°)\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/3)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F3)

## Podobne zadania

- [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (2 pkt) Uzasadnij, że jeżeli  jest kątem ostrym, to 4 2 2 4 sin cos sin cos        Poziom podstawowy 12 Uzasadnij, że jeżeli alfa jest kątem
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-3) Udowodnij, że dla dowolnego kąta ( ) π 2 0, α ∈ prawdziwa jest nierówność ( ) ( ) π π 1 12 12 4 sin cos α α ⋅ < Wypełnia egzaminator Nr zadania
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/9) — Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się \(2\).

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_