# Matematyka — zadanie 4

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/4
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)
- rok: 2009
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 4. (4 pkt)
Liczba 3
4 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego (
)
nb
, którego iloraz jest równy (
)
2
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (
)
na
jest taki sam jak pierwszy wyraz ciągu (
)
nb
Suma siedmiu początkowych wyrazów ciągu (
)
na
jest równa sumie siedmiu początkowych
wyrazów ciągu (
)
nb
. Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego (
)
na

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
6

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(r = \dfrac{9}{7}\)

## Sposób 1 - wzór na sumę ciągu geometrycznego i arytmetycznego

**Dane:**
- Ciąg geometryczny \((b_n)\): pierwszy wyraz \(b_1 = \dfrac{3}{4}\), iloraz \(q = -2\)
- Ciąg arytmetyczny \((a_n)\): pierwszy wyraz \(a_1 = b_1 = \dfrac{3}{4}\), różnica \(r = ?\)
- Warunek: \(S_7^{(a)} = S_7^{(b)}\)

**Krok 1 - oblicz sumę 7 wyrazów ciągu geometrycznego.**

Korzystamy ze wzoru \(S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}\):

\[S_7^{(b)} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - (-2)^7}{1 - (-2)}\]

Obliczamy \((-2)^7 = -128\):

\[S_7^{(b)} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - (-128)}{1 + 2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{129}{3} = \frac{3}{4} \cdot 43 = \frac{129}{4}\]

**Krok 2 - oblicz sumę 7 wyrazów ciągu arytmetycznego.**

Korzystamy ze wzoru \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\):

\[S_7^{(a)} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4} + 6r}{2} \cdot 7 = 7 \cdot \frac{\frac{3}{2} + 6r}{2} = \frac{7\left(\frac{3}{2} + 6r\right)}{2}\]

**Krok 3 - przyrównaj sumy i rozwiąż równanie.**

\[\frac{7\left(\frac{3}{2} + 6r\right)}{2} = \frac{129}{4}\]

Mnożymy obie strony przez \(4\):

\[14\left(\frac{3}{2} + 6r\right) = 129\]

\[21 + 84r = 129\]

\[84r = 108\]

\[\boxed{r = \frac{108}{84} = \frac{9}{7}}\]

## Sposób 2 - przez wzór na sumę arytmetyczną z \(a_1\) i \(a_7\)

**Krok 1 - suma geometryczna (tak samo jak wyżej):**

\[S_7^{(b)} = \frac{129}{4}\]

**Krok 2 - skorzystaj z postaci sumy arytmetycznej \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\).**

Dla \(n = 7\):

\[S_7^{(a)} = \frac{a_1 + a_7}{2} \cdot 7\]

Ponieważ \(a_7 = a_1 + 6r\):

\[S_7^{(a)} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} + 6r}{2} \cdot 7 = \frac{\frac{3}{2} + 6r}{2} \cdot 7\]

**Krok 3 - użyj też faktu, że środkowy wyraz 7-elementowego ciągu to \(a_4\), a suma wynosi \(7 \cdot a_4\).**

Dla ciągu arytmetycznego \(S_7 = 7 \cdot a_4\) (bo wyraz środkowy = średnia arytmetyczna). Zatem:

\[7 \cdot a_4 = \frac{129}{4}\]

\[a_4 = \frac{129}{28}\]

Ale \(a_4 = a_1 + 3r = \dfrac{3}{4} + 3r\), więc:

\[\frac{3}{4} + 3r = \frac{129}{28}\]

\[3r = \frac{129}{28} - \frac{3}{4} = \frac{129}{28} - \frac{21}{28} = \frac{108}{28} = \frac{27}{7}\]

\[\boxed{r = \frac{27}{21} = \frac{9}{7}}\]

Wynik taki sam - poprawnie.

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**

Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

Wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu geometrycznego (dla \(q \neq 1\)):
\[S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}\]
Użyliśmy tego w obu sposobach do obliczenia \(S_7^{(b)}\).

Wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]
Użyliśmy tego do wyrażenia \(S_7^{(a)}\) przez nieznaną różnicę \(r\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu geometrycznego wynosi \(-2\), czyli jest **ujemny**. Łatwo zapomnieć o minusie przy potęgowaniu: \((-2)^7 = -128\), **nie** \(+128\). Błąd tutaj zmienia wartość \(S_7^{(b)}\) i cały wynik.

> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze \(S_n = b_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}\) mianownik to \(1 - q = 1 - (-2) = 3\), **nie** \(-1\) ani \(-3\). Zmiana znaku w mianowniku to jeden z najczęstszych błędów przy ujemnym ilorazie.

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **różnicę** ciągu arytmetycznego \(r\), a nie o \(a_7\) ani \(S_7\). Po wyznaczeniu równania sprawdź, czy twój wynik to rzeczywiście \(r\), a nie intelektualnie pochodna wartość.

**Poprawna odpowiedź:** \(r = \dfrac{9}{7}\).

### Sposób 1 - Wzory na sumy i równanie
**Dane:** \(b_1 = a_1 = \dfrac{3}{4}\), \(q = -2\), \(n = 7\), \(S_7^{(a)} = S_7^{(b)}\).

**Suma 7 wyrazów ciągu geometrycznego:** (wzór \(S_n = b_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}\))
\[S_7^{(b)} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1 - (-2)^7}{1 - (-2)} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1 - (-128)}{3} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{129}{3} = \dfrac{129}{4}.\]

**Suma 7 wyrazów ciągu arytmetycznego:** (wzór \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\))
\[S_7^{(a)} = \dfrac{2 \cdot \tfrac{3}{4} + 6r}{2} \cdot 7 = \dfrac{\tfrac{3}{2} + 6r}{2} \cdot 7.\]

**Równanie \(S_7^{(a)} = S_7^{(b)}\):**
\[\dfrac{\tfrac{3}{2} + 6r}{2} \cdot 7 = \dfrac{129}{4}.\]

Mnożymy obustronnie przez \(\dfrac{2}{7}\):
\[\dfrac{3}{2} + 6r = \dfrac{129}{4} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{129}{14}.\]

\[6r = \dfrac{129}{14} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{129}{14} - \dfrac{21}{14} = \dfrac{108}{14} = \dfrac{54}{7}.\]

\[r = \dfrac{54}{7 \cdot 6} = \dfrac{9}{7}.\]

### Sposób 2 - Rozpisanie wyrazów
**Ciąg geometryczny:** \(b_1 = \dfrac{3}{4}\), \(q = -2\).
\[b_1 = \dfrac{3}{4}, \; b_2 = -\dfrac{3}{2}, \; b_3 = 3, \; b_4 = -6, \; b_5 = 12, \; b_6 = -24, \; b_7 = 48.\]
\[S_7^{(b)} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{2} + 3 - 6 + 12 - 24 + 48 = \dfrac{3}{4} - \dfrac{6}{4} + \dfrac{12}{4} - \dfrac{24}{4} + \dfrac{48}{4} - \dfrac{96}{4} + \dfrac{192}{4} = \dfrac{129}{4}.\]

**Ciąg arytmetyczny:** \(S_7^{(a)} = 7a_1 + \dfrac{7 \cdot 6}{2} r = \dfrac{21}{4} + 21r\).

**Równanie:**
\[\dfrac{21}{4} + 21r = \dfrac{129}{4} \Rightarrow 21r = \dfrac{108}{4} = 27 \Rightarrow r = \dfrac{27}{21} = \dfrac{9}{7}.\]

### Weryfikacja
\[S_7^{(a)} = \dfrac{21}{4} + 21 \cdot \dfrac{9}{7} = \dfrac{21}{4} + 27 = \dfrac{21 + 108}{4} = \dfrac{129}{4} = S_7^{(b)} \checkmark.\]

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/4)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F4)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/14) — Zadanie 14. (0-6) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 a
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Ciąg ( ) , 4, , a b c jest arytmetyczny, a ciąg ( ) , , 4 a a b c jest geometryczny. Oblicz a, b i c. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wy
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6). Ciąg (𝑏𝑛), okre

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_