# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)
- rok: 2009
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 5. (6 pkt)
Rozwiąż
nierówność
(
)
0
4
2
2
<
x
Podaj
wszystkie
rozwiązania
równania
3
2
6
4
24
0
x
x
x
, które należą do zbioru rozwiązań tej nierówności.

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
7

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

**Nierówność:** \(x \in (0, 4)\)

**Rozwiązania równania należące do tego przedziału:** tylko \(x = 2\)

## Sposób 1 - rozwinięcie i rozkład na czynniki

### Krok 1: Rozwiąż nierówność

Rozwijamy lewą stronę:
\[(x-2)^2 - 4 < 0\]
\[x^2 - 4x + 4 - 4 < 0\]
\[x^2 - 4x < 0\]

Wyłączamy \(x\) przed nawias:
\[x(x - 4) < 0\]

Iloczyn dwóch czynników jest **ujemny**, gdy jeden jest dodatni, a drugi ujemny. Miejsca zerowe to \(x = 0\) i \(x = 4\).

Wykres znaku iloczynu \(x(x-4)\):

| przedział | \(x\) | \(x-4\) | iloczyn |
| \(x < 0\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(0 < x < 4\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) ✓ |
| \(x > 4\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

**Rozwiązanie nierówności:** \(\boxed{x \in (0, 4)}\)

### Krok 2: Rozwiąż równanie \(x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = 0\)

Grupujemy wyrazy parami:
\[x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = x^2(x + 6) - 4(x + 6)\]

Wyłączamy wspólny czynnik \((x+6)\):
\[= (x^2 - 4)(x + 6)\]

Stosujemy wzór \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
\[= (x - 2)(x + 2)(x + 6)\]

Równanie \((x-2)(x+2)(x+6) = 0\) daje trzy pierwiastki:
\[x_1 = 2, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -6\]

### Krok 3: Wybierz pierwiastki z przedziału \((0, 4)\)

- \(x_3 = -6\) - nie należy do \((0,4)\) ✗
- \(x_2 = -2\) - nie należy do \((0,4)\) ✗
- \(x_1 = 2\) - **należy do \((0,4)\)** ✓

**Odpowiedź: jedynym rozwiązaniem równania w zbiorze rozwiązań nierówności jest \(x = 2\).**

## Sposób 2 - nierówność przez wartość bezwzględną

Nierówność \((x-2)^2 - 4 < 0\) możemy przepisać jako:
\[(x-2)^2 < 4\]

To znaczy, że kwadrat wyrażenia \((x-2)\) jest mniejszy od \(4 = 2^2\), czyli:
\[|x - 2| < 2\]

Z definicji wartości bezwzględnej:
\[-2 < x - 2 < 2\]

Dodajemy \(2\) do wszystkich stron:
\[0 < x < 4\]

Otrzymujemy ten sam wynik: \(x \in (0, 4)\).

**Weryfikacja pierwiastka \(x = 2\):**
\[(2-2)^2 - 4 = 0 - 4 = -4 < 0 \quad \checkmark\]

**Weryfikacja \(x = -2\) (że NIE należy):**
\[(-2-2)^2 - 4 = 16 - 4 = 12 \not< 0 \quad \times\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - w Sposobie 2 korzystamy z:
\[|x - a| < r \iff a - r < x < a + r\]
Tutaj \(a = 2\), \(r = 2\), co daje \(0 < x < 4\).

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - rozkład różnicy kwadratów:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Użyliśmy tego do rozłożenia \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\).

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - analiza znaku trójmianu \(x^2 - 4x = x(x-4)\):
miejsca zerowe \(x = 0\) i \(x = 4\), ramiona paraboli skierowane w górę (\(a = 1 > 0\)), więc parabolka jest poniżej zera między pierwiastkami.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\(<\), nie \(\leq\)), więc przedział jest **otwarty**: \((0, 4)\). Punkty \(x = 0\) i \(x = 4\) **nie należą** do rozwiązania - sprawdź, czy \(x = 2\) spełnia nierówność, a nie równanie.

> ⚠️ **Uwaga:** Grupowanie w wielomianie stopnia 3 wymaga pomysłu - warto sprawdzić, czy któryś z czynników \((x \pm 1), (x \pm 2), (x \pm 3), \ldots\) jest wspólny. Tu kluczowe było zauważenie, że \(6 = -(-4) \cdot \frac{6}{4}\) nie, po prostu grupujemy \(x^2(\ldots)\) i \(-4(\ldots)\), żeby wyłonił się ten sam nawias \((x+6)\).

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć sprawdzić **wszystkie trzy pierwiastki** w kontekście nierówności. Uczniowie czasem podają \(x = 2\) i \(x = -2\) myląc "należące do rozwiązania równania" z "należące do \((0,4)\)".

**Poprawna odpowiedź:** nierówność ma rozwiązanie \(x \in (0, 4)\); pierwiastki wielomianu: \(x = -6, -2, 2\); należący do zbioru rozwiązań nierówności - tylko \(x = 2\).

### Część 1 - Nierówność \((x-2)^2 - 4 < 0\)

**Sposób A - wzór skróconego mnożenia** \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
\[(x-2)^2 - 4 = (x-2-2)(x-2+2) = (x-4) \cdot x.\]

Stąd:
\[x(x-4) < 0.\]

Korzystamy z własności iloczynu < 0: czynniki o przeciwnych znakach. Parabola \(y = x(x-4)\) ma miejsca zerowe \(0\) i \(4\), ramiona w górę, więc jest ujemna między pierwiastkami:
\[x \in (0, 4).\]

**Sposób B - wartość bezwzględna:**
\[(x-2)^2 < 4 \iff |x-2| < 2 \iff -2 < x - 2 < 2 \iff 0 < x < 4.\]

Zbiór rozwiązań nierówności: \(x \in (0, 4)\).

### Część 2 - Rozwiązanie równania \(x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = 0\)

**Metoda grupowania wyrazów:**
\[x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = x^2(x+6) - 4(x+6) = (x+6)(x^2 - 4) = (x+6)(x-2)(x+2).\]

Równanie \((x+6)(x-2)(x+2) = 0\) daje pierwiastki:
\[x_1 = -6, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 2.\]

**Metoda alternatywna - twierdzenie o pierwiastkach wymiernych:**
Kandydaci: dzielniki wyrazu wolnego \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\).
Sprawdzamy: \(W(2) = 8 + 24 - 8 - 24 = 0\) ✓; dzielimy \(W(x) : (x-2) = x^2 + 8x + 12 = (x+2)(x+6)\). Te same pierwiastki.

### Część 3 - Wybór pierwiastków z przedziału \((0, 4)\)
Sprawdzamy, które z pierwiastków \(\{-6, -2, 2\}\) należą do \((0, 4)\):
- \(-6 \notin (0, 4)\) ✗
- \(-2 \notin (0, 4)\) ✗
- \(2 \in (0, 4)\) ✓

**Odpowiedź:** jedynym rozwiązaniem równania należącym do zbioru rozwiązań nierówności jest \(x = 2\).

### Weryfikacja
- Nierówność dla \(x = 2\): \((2-2)^2 - 4 = -4 < 0\) ✓
- Równanie dla \(x = 2\): \(8 + 24 - 8 - 24 = 0\) ✓

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (5 pkt) Rozwiąż nierówność: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 3 3 3 3 log 1 log 5 log 1 x x x > Nr czynności 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Maks. liczba pkt 1 1 1 1 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-4) Rozwiąż nierówność |𝟐𝒙-𝟔| -|𝒙𝟐-𝟗| < 𝟎 Zapisz obliczenia. 5. 0-1- 2-3-4 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż nierówność |2x-6| - |x²-9| < 0 Zapisz ob
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-4) Rozwiąż nierówność |𝒙-𝟐| -𝟐⋅|𝒙+ 𝟑| < -𝟐 Zapisz obliczenia. 5. 0-1- 2-3-4 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż nierówność |x-2|-2⋅|x+3| < -2. Zapisz 
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Dane jest równanie 3𝑥+ 4 𝑥-1 = 𝑥+ 3 3𝑥 , gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (-∞, -𝟐 𝟑). Zapisz

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_