# Matematyka — zadanie 6 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/6 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa) - rok: 2009 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria ## Treść Zadanie 6. (4 pkt) Punkty ( )1 ,4 - A , ( ) 5 ,0 - B , ( ) 2, 1 C = są wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Wyznacz równanie osi symetrii tego trójkąta. Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 8 ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(y = x - 1\) ## Sposób 1 - Wierzchołek i środek podstawy **Krok 1: Ustal, które ramiona są równe (i co jest podstawą).** Obliczamy długości wszystkich boków: \[|AB| = \sqrt{(0-(-4))^2 + (-5-(-1))^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] \[|AC| = \sqrt{(2-(-4))^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\] \[|BC| = \sqrt{(2-0)^2 + (1-(-5))^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\] Skoro \(|AC| = |BC| = 2\sqrt{10}\), trójkąt jest równoramienny z **podstawą \(AB\)** i **wierzchołkiem \(C = (2, 1)\)**. **Krok 2: Wyznacz środek podstawy \(AB\).** \[M = \left(\frac{-4 + 0}{2},\ \frac{-1 + (-5)}{2}\right) = (-2, -3)\] **Krok 3: Napisz równanie prostej przez \(C = (2,1)\) i \(M = (-2, -3)\).** Nachylenie: \[a = \frac{1 - (-3)}{2 - (-2)} = \frac{4}{4} = 1\] Równanie prostej: \[y - 1 = 1 \cdot (x - 2)\] \[\boxed{y = x - 1}\] ## Sposób 2 - Symetralna odcinka \(AB\) Oś symetrii trójkąta równoramiennego jest jednocześnie **symetralną podstawy** - czyli prostą prostopadłą do \(AB\), przechodzącą przez środek \(AB\). **Krok 1: Środek \(AB\).** \[M = (-2, -3)\] (obliczony wyżej) **Krok 2: Nachylenie \(AB\).** \[a_{AB} = \frac{-5 - (-1)}{0 - (-4)} = \frac{-4}{4} = -1\] **Krok 3: Prosta prostopadła do \(AB\) przez \(M\).** Dla prostych prostopadłych: \(a_1 \cdot a_2 = -1\), więc: \[a_{\perp} = -\frac{1}{-1} = 1\] Równanie symetralnej: \[y - (-3) = 1 \cdot (x - (-2))\] \[y + 3 = x + 2\] \[\boxed{y = x - 1}\] **Weryfikacja:** Sprawdźmy, czy \(C = (2,1)\) leży na tej prostej: \(y = 2 - 1 = 1\) ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** Długość odcinka: \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] Użyliśmy do obliczenia długości boków i ustalenia, które ramiona są równe. Równanie kierunkowe prostej i nachylenie: \[y = ax + b, \quad a = \operatorname{tg}\alpha\] Warunek prostych prostopadłych (Sposób 2): \[a_1 \cdot a_2 = -1\] Użyliśmy do wyznaczenia nachylenia symetralnej. Środek odcinka: \[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\] ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Przed wyznaczeniem osi symetrii **musisz sprawdzić, które boki są równe** - to wskazuje, co jest podstawą. Zły wybór podstawy daje zupełnie inną (błędną) prostą. > ⚠️ **Uwaga:** Prosta prostopadła do prostej o nachyleniu \(a\) ma nachylenie \(-\frac{1}{a}\), a **nie** \(-a\). Mylenie tych dwóch jest bardzo częstym błędem. > ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 prosta przez dwa punkty musi przechodzić przez **wierzchołek** (tu \(C\)) **i środek przeciwległego boku** - nie przez dowolne dwa wierzchołki. **Poprawna odpowiedź:** \(y = x - 1\). ### Sposób 1 - Symetralna boku AB (przez C) **Krok 1. Ustalenie, które boki są równe.** Obliczamy długości wszystkich boków: \[|AB| = \sqrt{(0-(-4))^2 + (-5-(-1))^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}.\] \[|BC| = \sqrt{(2-0)^2 + (1-(-5))^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.\] \[|AC| = \sqrt{(2-(-4))^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.\] Zatem \(|AC| = |BC|\) - wierzchołek \(C\) jest „szczytem" trójkąta równoramiennego, a oś symetrii przechodzi przez \(C\) prostopadle do \(AB\). **Krok 2. Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\).** \[m_{AB} = \dfrac{-5 - (-1)}{0 - (-4)} = \dfrac{-4}{4} = -1.\] Przykładowe równanie \(AB\): \(y - (-5) = -1 \cdot (x - 0) \Rightarrow y = -x - 5\). **Krok 3. Prosta prostopadła do \(AB\).** Współczynnik prostopadłej: \(m_\perp = -\dfrac{1}{m_{AB}} = -\dfrac{1}{-1} = 1\). Rodzina: \(y = x + b\). **Krok 4. Podstawiamy punkt \(C = (2, 1)\):** \[1 = 2 + b \Rightarrow b = -1.\] **Równanie osi symetrii:** \(y = x - 1\). ### Sposób 2 - Symetralna odcinka \(AB\) (własność: każdy punkt symetralnej jest równo odległy od końców odcinka) Niech \(P = (x, y)\). Warunek \(|PA| = |PB|\): \[(x+4)^2 + (y+1)^2 = x^2 + (y+5)^2.\] Rozwijamy: \[x^2 + 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 + 10y + 25.\] \[8x + 2y + 17 = 10y + 25 \Rightarrow 8x - 8y = 8 \Rightarrow x - y = 1 \Rightarrow y = x - 1.\] ### Sposób 3 - Prosta \(CD\), gdzie \(D\) to środek \(AB\) Środek odcinka \(AB\): \[D = \left(\dfrac{-4 + 0}{2}, \dfrac{-1 + (-5)}{2}\right) = (-2, -3).\] Współczynnik kierunkowy prostej \(CD\) (gdzie \(C = (2,1)\), \(D = (-2, -3)\)): \[m = \dfrac{1 - (-3)}{2 - (-2)} = \dfrac{4}{4} = 1.\] Równanie przez \(C = (2, 1)\): \(y - 1 = 1 \cdot (x - 2) \Rightarrow y = x - 1\). ### Weryfikacja - \(C = (2, 1)\) na prostej: \(1 = 2 - 1\) ✓ - \(D = (-2, -3)\) na prostej: \(-3 = -2 - 1\) ✓ - Iloczyn współczynników kierunkowych \(AB\) i osi: \((-1) \cdot 1 = -1\) - proste prostopadłe ✓ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/6) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F6) ## Podobne zadania - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (0, 1) oraz 𝐶= (6, 4) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 pr - [Zadanie 36](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/36) — Zadanie 36. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (2, 8) oraz 𝐵= (10, 2). Symetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych w punkcie - [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-5) Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty ( ) 5, 3 A = - i ( ) 0, 6 B = , którego środek leży na prostej o równaniu 3 1 0 x y MMA_1R - [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-4) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 0) oraz 𝐶= (5, 6) są końcami przekątnej kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Kwadrat 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ jest obra _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_