# Matematyka — zadanie 7

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/7
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)
- rok: 2009
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Stereometria

## Treść

Zadanie 7. (5 pkt)
Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm i jest nachylona
do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego
objętość jest równa objętości tego ostrosłupa.

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
9

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(b = 2\sqrt[3]{2}\) cm

## Sposób 1 - Trygonometria na krawędzi bocznej

**Co mamy:** ostrosłup prawidłowy czworokątny (podstawa = kwadrat, wierzchołek nad środkiem podstawy), krawędź boczna \(l = 4\) cm, kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy \(\varphi = 30°\).

**Krok 1: Wyznaczamy wysokość ostrosłupa.**

Krawędź boczna tworzy z jej rzutem na podstawę kąt \(30°\). Rzut krawędzi bocznej na podstawę to odcinek od narożnika do środka podstawy (połowa przekątnej kwadratu).

Z trójkąta prostokątnego (krawędź boczna - rzut - wysokość):
\[h = l \cdot \sin 30° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \text{ cm}\]

**Krok 2: Wyznaczamy bok podstawy \(a\).**

Rzut krawędzi bocznej na podstawę = połowa przekątnej kwadratu = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\):
\[\frac{a\sqrt{2}}{2} = l \cdot \cos 30° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]
\[a\sqrt{2} = 4\sqrt{3}\]
\[a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6} \text{ cm}\]

**Krok 3: Objętość ostrosłupa.**
\[V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (2\sqrt{6})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 = 16 \text{ cm}^3\]

**Krok 4: Krawędź sześcianu.**

Szukamy \(b\) takiego, że \(V_{\text{sześcian}} = V_{\text{ostrosłup}}\):
\[b^3 = 16 = 8 \cdot 2\]
\[\boxed{b = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2} \text{ cm}}\]

## Sposób 2 - Przez wysokość i sprawdzenie przez wzór cosinusów

**Alternatywne wyznaczenie \(a\):** krawędź boczna to odcinek od narożnika do wierzchołka. Sprawdźmy przez twierdzenie Pitagorasa w trójkącie: rzut poziomy \(= 2\sqrt{3}\), wysokość \(h = 2\).

\[l^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + h^2\]
\[16 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} + 4 = \frac{a^2}{2} + 4\]
\[\frac{a^2}{2} = 12 \implies a^2 = 24\]

To samo co wcześniej: \(a = 2\sqrt{6}\), więc \(a^2 = 24\).

**Weryfikacja objętości:**
\[V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 = 16 \text{ cm}^3\]
\[b = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}\text{ cm}\] ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**

Objętość ostrosłupa:
\[V = \frac{1}{3} P_p \cdot h\]
gdzie \(P_p\) - pole podstawy, \(h\) - wysokość. Użyliśmy tego w Kroku 3.

Objętość graniastosłupa prostego (sześcianu to szczególny przypadek):
\[V = P_p \cdot h\]
Dla sześcianu: \(V = b^3\). Użyliśmy do wyznaczenia \(b\) w Kroku 4.

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):**

Wartości dla kąta \(30°\):
\[\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Użyliśmy do wyznaczenia \(h\) i rzutu krawędzi bocznej w Kroku 1 i 2.

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**

\[\sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}\]
Użyliśmy do uproszczenia wyniku końcowego.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Rzut krawędzi bocznej na podstawę to **połowa przekątnej kwadratu** (\(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)), **nie** połowa boku! To najczęstszy błąd w tym typie zadań. Krawędź boczna idzie do narożnika, nie do środka boku.

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(30°\) to kąt nachylenia krawędzi **bocznej** do podstawy - mamy tu trójkąt prostokątny, w którym **przeciwprostokątna** to krawędź boczna \(l = 4\), a nie wysokość \(h\). Nie pisz \(h = l \cdot \cos 30°\)!

> ⚠️ **Uwaga:** \(\sqrt[3]{16} \neq 2\sqrt[3]{4}\). Rozkładamy \(16 = 8 \cdot 2\), więc \(\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}\). Sprawdź: \((2\sqrt[3]{2})^3 = 8 \cdot 2 = 16\). ✓

**Poprawna odpowiedź:** \(b = 2\sqrt[3]{2}\) cm (równoważnie \(\sqrt[3]{16}\) cm).

### Dane
- Ostrosłup prawidłowy czworokątny (podstawa - kwadrat).
- \(\ell = 4\) cm - krawędź boczna.
- \(\alpha = 30°\) - kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

### Krok 1. Wysokość ostrosłupa
Krawędź boczna \(\ell\), jej rzut na podstawę (połowa przekątnej podstawy) \(\dfrac{d}{2}\) oraz wysokość \(H\) tworzą trójkąt prostokątny.

Z definicji:
\[\sin\alpha = \dfrac{H}{\ell} \Rightarrow H = \ell \sin 30° = 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2 \text{ cm}.\]

### Krok 2. Połowa przekątnej i krawędź podstawy
\[\cos\alpha = \dfrac{d/2}{\ell} \Rightarrow \dfrac{d}{2} = \ell \cos 30° = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.\]
\[d = 4\sqrt{3} \text{ cm}.\]

Dla kwadratu o boku \(a\): \(d = a\sqrt{2}\), stąd:
\[a = \dfrac{d}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6} \text{ cm}.\]

### Krok 3. Objętość ostrosłupa
Pole podstawy: \(P_p = a^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24\) cm\(^2\).

\[V = \dfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H = \dfrac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 = 16 \text{ cm}^3.\]

### Krok 4. Krawędź sześcianu
Niech \(b\) - krawędź szukanego sześcianu. Warunek równości objętości:
\[b^3 = 16.\]

\[b = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2} \text{ cm}.\]

**Wartość przybliżona:** \(b \approx 2 \cdot 1{,}2599 \approx 2{,}52\) cm.

### Weryfikacja
- Kontrola trójkąta: \(\left(\dfrac{d}{2}\right)^2 + H^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 = \ell^2\) ✓
- Objętość sześcianu: \((2\sqrt[3]{2})^3 = 8 \cdot 2 = 16\) ✓

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/7)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F7)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (6 pkt) Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe 378 . π Oblicz objętość walca. 10 Ar
- [Zadanie 36](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/36) — Zadanie 36. (0-5) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej 108 stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest n
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-5) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy . Przekątne podstawy ABCD prz

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_