# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)
- rok: 2009
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Ciągi, procenty

## Treść

Zadanie 8. (3 pkt)
Dziadek założył w banku trzyletnią lokatę pieniężną o stałej rocznej stopie procentowej
równej 5% (już po uwzględnieniu podatków i prowizji). Odsetki są kapitalizowane
po każdym roku trwania lokaty. Całość środków, otrzymanych z banku po zlikwidowaniu
lokaty, dziadek podzielił równo pomiędzy dziewięcioro wnucząt tak, że każde z dzieci
otrzymało 1029 zł. Oblicz początkową kwotę lokaty.

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
10

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(K_0 = 8000\) zł

## Sposób 1 - Wzór na procent składany

**Co wiemy:**
- Lokata trzyletnia, stopa \(p = 5\%\) rocznie, odsetki kapitalizowane co roku
- Po 3 latach wypłacono całość → dziadek podzielił na 9 wnucząt → każde dostało \(1029\) zł

**Krok 1: Znajdź całkowitą kwotę po 3 latach**

Skoro 9 wnucząt dostało po \(1029\) zł:
\[K_3 = 9 \cdot 1029 = 9261 \text{ zł}\]

**Krok 2: Zastosuj wzór na procent składany**

\[K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\]

Dla \(n = 3\), \(p = 5\):
\[K_3 = K_0 \cdot \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3 = K_0 \cdot (1{,}05)^3\]

**Krok 3: Oblicz \((1{,}05)^3\)**

\[(1{,}05)^3 = 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 1{,}1025 \cdot 1{,}05 = 1{,}157625\]

**Krok 4: Wyznacz \(K_0\)**

\[9261 = K_0 \cdot 1{,}157625\]
\[K_0 = \frac{9261}{1{,}157625}\]

Zauważmy, że \(1{,}157625 = \frac{9261}{8000}\), bo:
\[8000 \cdot 1{,}157625 = 9261\]

Zatem:
\[\boxed{K_0 = \frac{9261}{1{,}157625} = 8000 \text{ zł}}\]

## Sposób 2 - Krok po kroku, rok po roku

Zamiast wzoru ogólnego - śledzimy kwotę rok po roku, wychodząc od końca (od tyłu).

**Wiemy:** po 3 latach jest \(K_3 = 9261\) zł.

Co roku kwota rośnie o \(5\%\), czyli jest mnożona przez \(1{,}05\). Idąc wstecz - dzielimy przez \(1{,}05\).

**Po 2 latach (przed ostatnim rokiem):**
\[K_2 = \frac{K_3}{1{,}05} = \frac{9261}{1{,}05} = 8820 \text{ zł}\]

**Po 1 roku:**
\[K_1 = \frac{K_2}{1{,}05} = \frac{8820}{1{,}05} = 8400 \text{ zł}\]

**Na początku (przed pierwszym rokiem):**
\[K_0 = \frac{K_1}{1{,}05} = \frac{8400}{1{,}05} = \mathbf{8000 \text{ zł}}\]

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - procent składany:
\[K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\]

To jest wzór na wartość lokaty po \(n\) latach przy rocznej stopie \(p\%\) i kapitalizacji rocznej. Użyliśmy go w Sposobie 1 (i w odwróconej wersji w Sposobie 2).

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij najpierw obliczyć łącznej kwoty \(K_3 = 9 \cdot 1029\). Częsty błąd to wstawienie do wzoru samego \(1029\) jako \(K_3\) - wtedy wynik jest 9 razy za mały.

> ⚠️ **Uwaga:** \((1{,}05)^3 \neq 1 + 3 \cdot 0{,}05 = 1{,}15\). To błąd mylenia procentu składanego z prostym - procent składany działa wykładniczo, nie liniowo. Po 3 latach to nie \(15\%\) zysku, a \(15{,}7625\%\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(\frac{9261}{1{,}157625}\) - jeśli wychodzi niełatwa liczba, to dobry sygnał, żeby sprawdzić rachunki. Na maturze wyniki zazwyczaj są "ładne" (tu: dokładnie \(8000\)). Można sprawdzić w drugą stronę: \(8000 \cdot 1{,}157625 = 9261\). ✓

**Poprawna odpowiedź:** \(K_0 = 8000\) zł.

### Krok 1. Kapitał końcowy
Dziadek podzielił całą kwotę \(K_3\) równo pomiędzy \(9\) wnucząt, każde dostało \(1029\) zł:
\[K_3 = 9 \cdot 1029 = 9261 \text{ zł}.\]

### Krok 2. Wzór na procent składany
Dla kapitalizacji rocznej: \(K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n\), gdzie \(p = 0{,}05\) - roczna stopa, \(n = 3\) - liczba lat.

\[K_3 = K_0 \cdot \left(1 + \dfrac{5}{100}\right)^3 = K_0 \cdot (1{,}05)^3.\]

### Krok 3. Obliczenie \((1{,}05)^3\)
\[(1{,}05)^2 = 1{,}1025.\]
\[(1{,}05)^3 = 1{,}1025 \cdot 1{,}05 = 1{,}157625.\]

Równoważnie, trzymając ułamki zwykłe:
\[\left(\dfrac{21}{20}\right)^3 = \dfrac{9261}{8000}.\]

### Krok 4. Wyznaczenie \(K_0\)
\[K_0 = \dfrac{K_3}{(1{,}05)^3} = \dfrac{9261}{9261/8000} = 8000 \text{ zł}.\]

Alternatywnie: \(K_0 = \dfrac{9261}{1{,}157625} = 8000\).

### Weryfikacja
- Po 1. roku: \(8000 \cdot 1{,}05 = 8400\) zł.
- Po 2. roku: \(8400 \cdot 1{,}05 = 8820\) zł.
- Po 3. roku: \(8820 \cdot 1{,}05 = 9261\) zł. ✓
- \(9261 : 9 = 1029\) zł dla każdego dziecka. ✓

**Początkowa kwota lokaty:** \(K_0 = 8000\) zł.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Widownia wokół boiska do koszykówki podzielona jest na cztery sektory. W pierwszym rzędzie każdego sektora jest 8 miejsc, a w każdym następny
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (4 pkt) Ania przeczytała książkę science-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzedni
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Pierwszy wyraz ciągu ( ) na , określonego dla 1 ≥ n , jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek 2 1 3 = ⋅ n n a a n . Oblicz 
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_