# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)
- rok: 2009
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 9. (4 pkt)
W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość 18 cm, a wysokość CD jest równa 15 cm.
Punkt D dzieli bok AB tak, że
2
:
1
:
DB
AD
. Przez punkt P leżący na odcinku DB
poprowadzono prostą równoległą do prostej CD, odcinając od trójkąta ABC trójkąt, którego
pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta ABC. Oblicz długość odcinka PB.

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
11

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(|PB| = 3\sqrt{6}\) cm

## Sposób 1 - podobieństwo trójkątów i proporcja pól

**Krok 1: Wyznacz AD i DB**

Z warunku \(AD : DB = 1 : 2\) oraz \(AB = 18\) cm:
\[AD = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6 \text{ cm}, \qquad DB = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12 \text{ cm}\]

**Krok 2: Pole trójkąta ABC**

Wysokość \(CD = 15\) cm, podstawa \(AB = 18\) cm:
\[P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15 = 135 \text{ cm}^2\]

**Krok 3: Zidentyfikuj odcinany trójkąt**

Prosta przez \(P \in DB\) równoległa do \(CD\) - a \(CD \perp AB\) - jest więc prostopadła do \(AB\). Przecina ona bok \(BC\) w punkcie \(Q\). **Odcinany trójkąt to \(PBQ\)** z kątem prostym przy \(P\).

Pole odcinanego trójkąta (4 razy mniejsze niż \(P_{ABC}\)):
\[P_{PBQ} = \frac{135}{4} \text{ cm}^2\]

**Krok 4: Podobieństwo trójkątów PBQ i DBC**

Trójkąt \(DBC\): kąt prosty przy \(D\) (bo \(CD \perp AB\)), wspólny kąt przy \(B\).
Trójkąt \(PBQ\): kąt prosty przy \(P\) (bo \(PQ \perp AB\)), wspólny kąt przy \(B\).

Z warunku kąt-kąt: \(\triangle PBQ \sim \triangle DBC\), skala \(k = \dfrac{PB}{DB}\).

Pole trójkąta \(DBC\):
\[P_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 90 \text{ cm}^2\]

**Krok 5: Wyznacz PB ze stosunku pól**

\[\frac{P_{PBQ}}{P_{DBC}} = k^2 = \left(\frac{PB}{DB}\right)^2\]

\[\left(\frac{PB}{12}\right)^2 = \frac{135/4}{90} = \frac{135}{360} = \frac{3}{8}\]

\[PB^2 = 144 \cdot \frac{3}{8} = 54\]

\[\boxed{PB = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}35 \text{ cm}}\]

## Sposób 2 - metoda współrzędnych

Umieść \(D\) w początku układu: \(D = (0, 0)\), \(B = (12, 0)\), \(A = (-6, 0)\), \(C = (0, 15)\).

Punkt \(P\) leży na \(DB\): \(P = (t, 0)\), gdzie \(PB = 12 - t\).

**Prosta PQ** (pionowa, równoległa do \(CD\)): \(x = t\).

**Równanie prostej BC** (przez \(B(12,0)\) i \(C(0,15)\)):
\[\frac{x}{12} + \frac{y}{15} = 1 \implies 5x + 4y = 60\]

Punkt \(Q\) - przecięcie \(x = t\) z \(BC\):
\[5t + 4y = 60 \implies y = \frac{60 - 5t}{4} = \frac{5(12-t)}{4}\]

**Pole trójkąta PBQ:**
\[P_{PBQ} = \frac{1}{2} \cdot \underbrace{(12-t)}_{\text{podstawa PB}} \cdot \underbrace{\frac{5(12-t)}{4}}_{\text{wysokość PQ}} = \frac{5(12-t)^2}{8}\]

**Równanie warunkowe** \(\left(P_{PBQ} = \frac{135}{4}\right)\):
\[\frac{5(12-t)^2}{8} = \frac{135}{4}\]
\[(12-t)^2 = \frac{135 \cdot 8}{4 \cdot 5} = 54\]
\[12 - t = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\]

Zatem \(\boxed{PB = 3\sqrt{6} \text{ cm}}\) ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta:
\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\]
Użyliśmy tego do obliczenia \(P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15\) i \(P_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15\).

**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - pola figur podobnych:
\[\frac{P_B}{P_A} = k^2\]
Kluczowy wzór w Sposobie 1 - skoro trójkąty są podobne w skali \(k\), ich pola są w stosunku \(k^2\). Dzięki temu przeszliśmy od proporcji pól do długości boku.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** AD : DB = 1 : 2 oznacza \(DB = 12\) cm, **nie** 6 cm. To częsty błąd - błędne odczytanie "część druga" jako mniejsza.

> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek pól podobnych figur to \(k^2\), nie \(k\). Jeśli pole jest 4 razy mniejsze, skala liniowa to \(\frac{1}{2}\) - ale tu trójkąt \(PBQ\) nie jest podobny do \(ABC\), tylko do \(DBC\)! Stosunek \(\frac{135/4}{90} = \frac{3}{8}\), a nie \(\frac{1}{4}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Linia równoległa do \(CD\) przecina bok \(BC\) w punkcie \(Q\), tworząc trójkąt \(PBQ\) - **nie** tworzy czworokąta ani trójkąta przy wierzchołku \(A\). Sprawdź zawsze, który fragment jest "odcinany od trójkąta".

**Poprawna odpowiedź:** \(|PB| = 3\sqrt{6}\) cm.

### Dane i oznaczenia
- \(|AB| = 18\) cm, \(|CD| = 15\) cm (wysokość z \(C\) do \(AB\), stopa \(D\) na \(AB\)).
- \(AD : DB = 1 : 2 \Rightarrow |AD| = 6\), \(|DB| = 12\).
- \(P \in DB\), prosta przez \(P\) równoległa do \(CD\) przecina \(BC\) w \(F\), tworząc trójkąt \(PBF\) (odcięty od \(ABC\)).
- \(|PB| = x\), \(|PF| = h\) - szukane.
- Warunek: \([PBF] = \dfrac{1}{4} [ABC]\).

### Sposób 1 - Podobieństwo i pole

**Pole trójkąta \(ABC\):**
\[[ABC] = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15 = 135 \text{ cm}^2.\]

**Warunek pól:**
\[[PBF] = \dfrac{1}{4} \cdot 135 = \dfrac{135}{4}.\]

**Pole trójkąta \(PBF\)** (prostokątny w \(P\) bo \(PF \parallel CD\) i \(CD \perp AB\)):
\[[PBF] = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot h.\]

**Podobieństwo \(\triangle DBC \sim \triangle PBF\)** (proste \(CD\) i \(PF\) równoległe, wspólny kąt w \(B\)):
\[\dfrac{h}{|CD|} = \dfrac{x}{|DB|} \Rightarrow \dfrac{h}{15} = \dfrac{x}{12} \Rightarrow h = \dfrac{15x}{12} = \dfrac{5x}{4}.\]

**Podstawiamy do warunku pól:**
\[\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot \dfrac{5x}{4} = \dfrac{135}{4}.\]
\[\dfrac{5x^2}{8} = \dfrac{135}{4} \Rightarrow 5x^2 = \dfrac{135 \cdot 8}{4} = 270 \Rightarrow x^2 = 54.\]

\[x = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \text{ cm}.\]

### Sposób 2 - Stosunek pól figur podobnych

**Pole \(\triangle DBC\):**
\[[DBC] = \dfrac{1}{2} \cdot |DB| \cdot |CD| = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 90 \text{ cm}^2.\]

Stosunek: \(\dfrac{[DBC]}{[ABC]} = \dfrac{90}{135} = \dfrac{2}{3}\).

Z drugiej strony \([PBF] = \dfrac{1}{4}[ABC]\), więc:
\[\dfrac{[DBC]}{[PBF]} = \dfrac{2/3}{1/4} = \dfrac{8}{3}.\]

**Twierdzenie o stosunku pól figur podobnych** (\(\triangle DBC \sim \triangle PBF\), skala \(k = \dfrac{|DB|}{|PB|} = \dfrac{12}{x}\)):
\[k^2 = \dfrac{[DBC]}{[PBF]} = \dfrac{8}{3} \Rightarrow \dfrac{144}{x^2} = \dfrac{8}{3}.\]

\[x^2 = \dfrac{144 \cdot 3}{8} = 54 \Rightarrow x = 3\sqrt{6}.\]

### Weryfikacja
\(x = 3\sqrt{6} \approx 7{,}35\) cm. Warunek \(0 < x < 12\) (\(P\) na \(DB\)) spełniony ✓.
\[h = \dfrac{5 \cdot 3\sqrt{6}}{4} = \dfrac{15\sqrt{6}}{4}.\]
\[[PBF] = \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{6} \cdot \dfrac{15\sqrt{6}}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{45 \cdot 6}{4} = \dfrac{270}{8} = \dfrac{135}{4} \checkmark.\]

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-091%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (4 pkt) W trapezie ABCD długość podstawy CD jest równa 18, a długości ramion trapezu AD i BC są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i DCB, zaznaczone
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Dwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacie
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-3) Dany jest trapez ABCD, w którym kąty ABC i BCD są proste, DAB 60c B , AB 2 = oraz BD 3 Wyznacz długość odcinka AC. Odpowiedź: Wypełnia sprawdza
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/8) — ąg o środku A i promieniu długości r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku B i promieniu długości R ( R > r ). Prosta k jest styczna jednocześnie do obu o

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_